講義と演習「代数系入門｣

171：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/05/31(木) 06:08:09: 補題２　f:R→S,g:S→T,h:T→Uを写像とすると,
h○(g○f)=(h○g)○f.

証明.　h○(g○f)も(h○g)○fもRからUへの写像であり,
Rの任意の元xに対して
(h○(g○f))(x)=h((g○f)(x))=h(g(f(x))),
((h○g)○f)(x)=(h○g)(f(x))=h(g(f(x))).■

f:S→S'を写像とするとf○I_S=f,I_{S'}○f=fである.
実際,f○I_SもI_{S'}○fもSからS'への写像であり,
任意のSの元xに対して,
　　　　　　　　　　(f○I_S)(x)=f(I_S(x))=f(x),(I_{S'}○f)(x)=I_{S'}(f(x))=f(x).
またfが全単射のときはf○f^(-1)=I_{S'},f^(-1)○f=I_Sである.
実際,f○f^(-1)はS'からS'への写像であり,
任意のS'の元x'に対して
　　　　　　　　　　(f○f^(-1))(x')=f(f^(-1)(x'))=x',
f^(-1)○fはSからSへの写像であり,
任意のSの元xに対して
　　　　　　　　　　(f^(-1)○f)(x)=f^(-1)(f(x))=x.

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