講義と演習「代数系入門｣

181：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/15(金) 04:06:10: 有限個の元からなる群を有限群という.有限群の元の個数をその群の位数という.
例１６　Xを空でない集合とする.
GをXからXへの全単射全体の集合とすると,
Gは写像の合成に関して群をなす.また,
Xが3元以上からなるならGは非可換.
証明　補題１(>>170)より写像の合成はGの算法である.
補題２(>>171)よりGはG1を満たす.
I_XはGの単位元である.よってGはG2を満たす.
f∈Gの逆元はf^(-1)∈Gである.よってGはG3を満たす.
{a,b,c}⊂ Xとする.
f∈Gを
　　　　　　　　　　f(a)=b,f(b)=c,f(c)=a,￢(x∈{a,b,c})ならばf(x)=x,
g∈Gを
　　　　　　　　　　g(a)=c,g(c)=a,￢(x∈{a,c})ならばf(x)=x
とすると,
(g○f)(a)=b,(f○g)(a)=aとなるのでこの群は非可換である.■
182：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/15(金) 04:08:02: 例１５のGを集合X上の対称群といいS(X)と書く.
S(X)の元を置換という.
Xがn元からなる集合のときS(X)をS_nと書き,
n次対称群という.
S_nは有限群で,その位数はn!である.実際,X={1,2,…,n}とすると,
X上の置換は例えば
　　　　　　　　　　(1,2,…,n),(4,7,2,1,…)
などと表される.左の置換はI_Xを,右の置換はσ(1)=4,σ(2)=7,σ(3)=2,σ(4)=1,…となるS_nの元σを,それぞれ表すものとする.
即ちS_nの位数は,異なるn個のものを1列に並べる順列n!に等しい.
183：はじめまして：2010/07/15(木) 09:55:21: １１４の（3）の答えってどうなるか教えてくださいー（＞_＜。）
185：Je n'ai pas de nom!：2012/05/02(水) 20:59:29: 腹へったな。。。

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