>ニャンコヴィッチさん
I don't care a straw what other people say. は、他の辞書では、
care 他動詞、a straw 程度副詞、what 以下目的語、という説明が普通だと思います。
What do I care? の what も副詞っぽいですね。
what other people think の what は意味から代名詞という解釈が自然でしょう;
ただし、about this とか of him がつくと what は程度や評価の副詞になると思います。