特殊相対性理論 - 1116674351 - したらば掲示板

特殊相対性理論

74：あああ：2007/09/02(日) 17:48:37: 電磁場は、1個のスピノル（レプトン、クォーク）あるいはスカラーで表される電荷を「位相変換」
する場として定義される。
しかし、弱い力の場は、2個1組のスピノル（レプトン、クォーク）で表されるウィーク荷を、
強い力の場は、3個1組のスピノル（クォークのみ）で表されるカラー荷を変換する場として、定義
される。

一般にn個1組のスピノル
ψn = (ψ1,ψ2,・・・,ψn)
を変換する場を「ゲージ場」という。

ゲージ場は、このスピノル群ψnを

ψn => ψn = Um・ψn = exp[ -i・g/hbar・Tm・αm ]・ψn ( m = 1,・・・,n・n-1 )

のように変換する場である。
ここで、Tm、Umは、m個のn行n列の行列である。
弱い力の場（n=2）では、3個の2行2列のパウリ行列、強い力の場（n=3）では、
8個の3行3列のゲルマン行列となる。

このゲージ場では、4元ポテンシャルも、複数(n・n-1)個ある。
それを、Wim ( i = 0,1,2,3 ; m = 1,・・・,n・n-1 )とすれば、
Wi = Σ(Wim・Tm)

ゲージ場のテンソルGij,Gijmは、
Gij = ∂i・Wj - ∂j・Wi - g・(Wi・Wj - Wj・Wi)
で、
Gijm = ∂i・Wjm - ∂j・Wim - g・fmlk・Wil・Wjk
となる。
ここで、fmlk は、「構造定数」といわれる3階テンソルの定数

ゲージ場のポテンシャルは、

Wim・Tm -> Wim・Tm' = Um(Wim・Tm)Um(-1) - i・1/g・(∂i Um)・Um(-1)

と変換される。
ただ、Um(-1)は、Umの逆行列。

ゲージ場の共変微分 Dj = ∂j - i・g・Wj = ∂j - i・g・Σ(Wjm・Tm)
を導入すると、電磁場方程式にあたるものは、

Di・Gjkm + Dj・Gkim + Dk・Gijm = 0 　・・・　①
Dj・Gijm = ∂j・Gijm - g・fmlk・Ail・Ajk = -g・Jim ・・・　②

この①、②を「ヤンミルズ・ゲージ場方程式」といっている。
この「ヤンミルズ・ゲージ場方程式」は、弱い力の場、および、強い力の場の理論の基礎と
なる方程式である。

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