特殊相対性理論 - 1116674351 - したらば掲示板

69：あああ：2007/09/02(日) 15:42:52: マクスウェル電磁場方程式

Ex = - ∂Ax/∂t - ∂φ/∂x ・・・ (a) - 1
Ey = - ∂Ay/∂t - ∂φ/∂y ・・・ (a) - 2
Ez = - ∂Az/∂t - ∂φ/∂z ・・・ (a) - 3
Bx = ∂Az/∂y - ∂Ay/∂z ・・・ (b) - 1
By = ∂Ax/∂z - ∂Az/∂x ・・・ (b) - 2
Bz = ∂Ay/∂x - ∂Ax/∂y ・・・ (b) - 3
∂Ex/∂x + ∂Ey/∂y + ∂Ez/∂z = ρ(x,y,z)/ε0 ・・・　①
∂Bx/∂x + ∂By/∂y + ∂Bz/∂z = 0　・・・　②
∂Ez/∂y - ∂Ey/∂z = -∂Bx/∂t　・・・　③－１
∂Ex/∂z - ∂Ez/∂x = -∂By/∂t　・・・　③－２
∂Ey/∂x - ∂Ex/∂y = -∂Bz/∂t　・・・　③－３
∂Bz/∂y - ∂By/∂z = μ0・Jx + 1/c^2・∂Ex/∂t　・・・　④－１
∂Bx/∂z - ∂Bz/∂x = μ0・Jy + 1/c^2・∂Ey/∂t　・・・　④－２
∂By/∂x - ∂Bx/∂y = μ0・Jz + 1/c^2・∂Ez/∂t　・・・　④－３

ローレンツ変換、および、特殊相対性原理は、このマクスウェル電磁場方程式
から出てきたもの、といえる。

しかし、マクスウェル電磁場方程式から出てきたのは、ローレンツ変換、特殊
相対性原理だけでない。
ここで、任意の微分可能な関数χ(x,y,z,t)を導入しよう。
そして、電場ポテンシャルおよび磁場ポテンシャルを
φ' = φ - ∂χ/∂t ・・・ (c)
Ax' = Ax + ∂χ/∂x　・・・ (d) - 1
Ay' = Ay + ∂χ/∂y ・・・ (d) - 2
Az' = Az + ∂χ/∂z ・・・ (d) - 3
のように変換すれば、
∂/∂x（∂χ/∂t) = ∂/∂y(∂χ/∂t) = ∂/∂z(∂χ/∂t) = 0
∂/∂t（∂χ/∂x) = ∂/∂t(∂χ/∂y) = ∂/∂t(∂χ/∂z) = 0
だから、
∂φ'/∂x = ∂φ'/∂y = ∂φ'/∂z = φ
∂Ax'/∂t = ∂Ax/∂t
∂Ay'/∂t = ∂Ay/∂t
∂Az'/∂t = ∂Az/∂t
だから、(c),(d)-1,(d)-2,(d)-3の変換をしても、
Ex' = - ∂Ax'/∂t - ∂φ'/∂x = - ∂Ax/∂t - ∂φ/∂x = Ex
Ey' = - ∂Ay'/∂t - ∂φ'/∂y = - ∂Ay/∂t - ∂φ/∂y = Ey
Ez' = - ∂Az'/∂t - ∂φ'/∂z = - ∂Az/∂t - ∂φ/∂z = Ez
Bx' = ∂Az'/∂y - ∂Ay'/∂z = ∂Az/∂y - ∂Ay/∂z = Bx
By' = ∂Ax'/∂z - ∂Az'/∂x = ∂Ax/∂z - ∂Az/∂x = By
Bz' = ∂Ay'/∂x - ∂Ax'/∂y = ∂Ay/∂x - ∂Ax/∂y = Bz
と、(a),(b)-1,(b)-2,(b)-3と、全く同じである。

つまり、(c),(d)-1,(d)-2,(d)-3の変換を行っても、マクスウェル電磁場方程式
の形は変わらない。

ここで、(c),(d)-1,(d)-2,(d)-3 の変換を「ゲージ変換」といい、このような
「ゲージ変換」を行っても、マクスウェル電磁場方程式（電磁法則）が変わら
ないことを「ゲージ不変」という。

ポテンシャル(Ax,Ay,Az,φ)から電場(Ex,Ey,Ez)および磁場(Bx,By,Bz)は、一意
に決まるが、その逆は、(Ax+∂χ/∂x,Ay+∂χ/∂y,Az+∂χ/∂z,φ-∂χ/∂t)と、
(∂χ/∂x,∂χ/∂y,∂χ/∂z,-∂χ/∂t)の分、任意性がある。
(∂χ/∂x,∂χ/∂y,∂χ/∂z,-∂χ/∂t)は、時空に「ものさし」つまり「ゲージ」
である。

また、ゲージ変換に対して、電磁法則などの物理法則の形が変わらないことを
要請するのが「ゲージ原理」。

マクスウェル電磁場方程式からは、ローレンツ変換および特殊相対性原理だけ
でなく、ゲージ変換およびゲージ原理も出て来る。

相対性原理　・・・　物理法則は、任意の慣性系あるいは座標系の設定によらず同じ形で成立する
ゲージ原理　・・・　物理法則は、任意のゲージ（ものさし）の設定によらず同じ形で成立する