【伊藤兄弟】測度論と確率論【西尾】 - 1162201377

1：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/10/30(月) 18:42:57: 建てておきましょ。
皆さんどうぞおつかい下さい。
9：たま ◆U4RT2HgTis：2007/05/10(木) 01:29:13: >>8
あんまり自明じゃないけど、定理18.1を参考にすれば示せます．
1年前ぐらい前に自分でやった証明なので間違ってたらすいません。

「Fが絶対連続⇔F_1,F_2が絶対連続⇔Φ_1,Φ_2がμに関して絶対連続」
は容易に示せると思うので
「Φがμに関して絶対連続⇒Φ_1がμに関して絶対連続」
を示せば、「Φ がμ に関して絶対連続⇒Ｆが絶対連続」がいえます。
なので以下これを示します．
10：たま ◆U4RT2HgTis：2007/05/10(木) 01:31:14: 定理18.2より
∀ε>0に対して∃δ_ε>0が存在して，μ(E)<δ_εなる任意のEに対して|Φ_1(E)|<ε ――(＊)
が成り立つことを示せばよい．
ここで、μ(E)<δ_εなる任意のEに対して
Lebesgue測度の定義より，∃(a_ν,b_ν]があって，
E⊂Σ[ν=1,∞](a_ν,b_ν] かつ Σ[ν=1,∞](b_ν-a_ν)<δ_ε
とできるので，測度の単調性より(＊)のEとしてはE=Σ[ν=1,∞](a_ν,b_ν]
の形のものだけを考えればよい．

Φがμに関して絶対連続であるので，定理18.2より
∀ε>0に対して∃δ_ε>0が存在して，μ(E)<δ_εなる任意のEに対して|Φ(E)|<ε ――(＊＊)
が成り立つ．
μ(E)<δ_εなるEを一つ固定して考える．
上に述べたことよりE=Σ[ν=1,∞](a_ν,b_ν]としてよく，このとき (＊＊)の条件は
|Φ(E)| = |Σ[ν=1,∞]{F(b_ν)-F(a_ν)}|<ε
とかける．
さて，各(a_ν,b_ν]に対して，F_1(x)の構成の仕方から
Σ[μ_ν=1,n_ν](t_{μ_ν},t'_{μ_ν}]⊂(a_ν,b_ν]なる区間(t_{μ_ν},t'_{μ_ν}]の組があって
F_1(b_ν)-F_1(a_ν) < Σ[μ_ν=1,n_ν]{F(t'_{ν_μ}) - F(t_{ν_μ})} + ε/2^ν ――(＊＊＊)
とできる．(ただし，F(t'_{ν_μ}) - F(t_{ν_μ}) ≧ 0 )

E' = Σ[ν=1,∞]Σ[μ_ν=1,n_ν](t_{μ_ν},t'_{μ_ν}] とおくと
E' ⊂ Σ[ν=1,∞](a_ν,b_ν] = E であるので，
μ(E')≦μ(E)<δ_εであるから|Φ(E')|<ε ――(＊＊＊＊)
また，
|Φ(E')| = Φ(E') = Σ[ν=1,∞]Σ[μ_ν=1,n_ν]{F(t'_{ν_μ}) - F(t_{ν_μ})}
>Σ[ν=1,∞]{F_1(b_ν)-F_1(a_ν) - ε/2^ν} (∵ (＊＊＊))
=Σ[ν=1,∞]{F_1(b_ν)-F_1(a_ν)} - ε
したがって，(＊＊＊＊)とあわせて
Φ_1(E) = Σ[ν=1,∞]{F_1(b_ν)-F_1(a_ν)} < 2ε
よって，(＊)が成り立つので，Φ_1は絶対連続．
11：たま ◆U4RT2HgTis：2007/05/10(木) 01:34:04: 本質的には定理18.1が効いてると思います。
ただ、Φ_1の構成がJordanの分解における上変動の構成とはちょっと違うので、
上のような方法をとりましたが、もうちょっと簡単に示せるかもしれないです。
12：たま ◆U4RT2HgTis：2007/05/10(木) 01:40:52: >>10
二段落目の5行目
＞このとき (＊＊)の条件は
＞|Φ(E)| = |Σ[ν=1,∞]{F(b_ν)-F(a_ν)}|<ε
＞とかける．
これ使わなかった。無視してください。すいません。
13：伊藤清一 ◆Oudnx64fmo：2007/05/10(木) 11:45:45: >>10
ありがとうございます！
凄いですね…ちょっと考え付きませんでした。

ここ２週間ほどの呪縛から、ようやく解放されましたw
>>6 の部分にまで早く到達できるように頑張ります。
14：伊藤清一 ◆Oudnx64fmo：2007/05/10(木) 12:25:18: あ、すみません。もう一つあるのですが、
１３４ページの問５で、分解の一意性が示せません。

ある友人に言わせると、そもそも１２７ページの「純粋不連続」の定義が
まずいんじゃないか、ということで、彼は、１２７ページ１３行目の
Φ(R^N－Ａ)＝0　は、Φ の全変動 V(R^N－Ａ)＝0
にすべきだ、と主張しています。
確かに、清三の定義のままでは、「連続かつ純粋不連続な集合函数で、ゼロ
ではないもの」も存在してしまうような予感がして気持ち悪いです。
その上、彼の定義に従えば、一意性も示せます。そして、集合函数が
単調増加である場合には、清三の定義と一致します。が、勝手に定義を変える
のもどうかと思うので、未解決問題となっています。

既に解決済みであれば、教えていただけると嬉しいです。
15：たま ◆U4RT2HgTis：2007/05/10(木) 19:51:17: >>14
確かにおかしいですね。
僕も全変動V(R^N－Ａ)＝0で定義すればいいと思います。
たぶん、教科書の間違いじゃないかと。
16：伊藤清一 ◆Oudnx64fmo：2007/05/11(金) 15:38:20: >>15
了解です。ありがとうございますm(_ _)m
17：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/06(水) 03:13:22: せっかく立てたし少しずつ読んでいこう。

ルベーグ積分入門
伊藤清三
一章　予備概念
一節　Lebesgue(ルベーグ)測度とは何か

平面上の図形をA,Bなどと表すことにする.
A,Bが共通点を持たいときAとBを合わせた図形をA+Bと書くことにする.
3つ以上の図形A,B,C…についても,どの2つの図形も共通点を持たないとき,
これらを合わせた図形をA+B+C+…と書くことにする.

図形Aの面積が幾何学的に,あるいはRiemann(リーマン)積分(解析概論スレで後述)によって定義されるとき,
Aは面積を持つという.
図形Aが面積を持つとき,その面積を|A|と書くことにする.
18：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/06(水) 03:13:39: 面積には次のような性質がある.

(1)　Aが面積を持てば0≦A≦∞,
(2)　A_1,…,A_nが面積を持ちどの2つも交わらないとき,
　　　　　　　　　　|A_1+…+A_n|=|A_1|+…+|A_n|.
(3)　AとBが互いに,平行移動,回転移動,対称移動によって重ね得るとき,即ち合同であるとき,
　　一方が面積を持つなら他方も面積を持ち,その値は相等しい.

もし(2)が図形の無限列に対しても成り立つ,即ち
(2)'　A_1,…,A_n,…が面積を持ちどの2つも互いに交わらないとき,
　　　　　　　　　　|A_1|+…+|A_n|+….
が成り立つならば,理想的なのであるが,これはRiemann積分を使って定義された面積の概念だと成立しない.
以上のことは空間内の図形についても同様である.
19：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/06(水) 03:13:55: Henri Lebesgue(1875-1941)は1902年,学位論文(!)においてこの問題を解決した.
Lebesgue測度とは(1),(2)',(3)が成り立つような面積,体積等の拡張概念である.
Riemann積分は図形の面積を使って定義されたが,Lebesgue積分はLebesgue測度を使って定義される.
(2)'を完全加法性というが,このLebesgue測度の完全加法性のおかげで,函数列の極限,無限級数が扱い易くなった.
Lebesgue積分を考え得る函数を可測函数というが,Riemann積分可能函数は皆可測函数である.
可測函数列の極限函数も可測である.よって連続函数から出発して,何度も極限操作をして得られる函数は,
すべて可測になる.
ために,項別積分や二重積分と累次積分の公式も扱い易くなる.
測度の概念や,それに基づく積分の概念は,Euclid(ユークリッド)空間でのみならず,
一般の抽象空間にて論ずることができる.
20：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/10(日) 01:30:27: とりあえず、こちらも一章だけはここで読んでみよう。

確率論
西尾真喜子,実教出版,1978
一章　離散型確率空間と確率論のモデル
一節　離散型確率空間の定義と例
21：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/10(日) 01:30:48: 同じ条件下で何度も繰り返しできる実験を試行という.
試行の結果得られる可能な結果全体を見本空間という.
硬貨を1回投げる試行においては{表,裏}の2点集合が見本空間に,
さいころを2回投げる試行においては,1回目に出た目をi,2回目に出た目をjとおくと,
{(i,j);i=1,2,3,4,5,6,j=1,2,3,4,5,6}の6点集合が見本空間に,
硬貨を裏が出るまで投げ続ける試行の見本空間は{(裏),(表,裏),(表,表,裏),…}なる無限集合となる.
22：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/10(日) 01:31:04: Wを見本空間とする.この章では見本空間は可算集合であるとする.
Wの元を見本という.
Wの部分集合を事象という.
集合論の述語を事象にも流用する.:
A⊂B:AはBの部分集合→AはBの部分事象.
A^c:Aの補集合(余集合)→Aの補事象(余事象).
A∪B∪…:和集合→和事象.
A∩B∩…:共通集合→交事象.
W:全空間→全事象.
Φ:空集合→空事象.
23：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/10(日) 01:33:29: A∩B=ΦのときAとBは互いに排反な事象であるという.互いに素な事象であるとも言う.
Wをさいころを2回振る試行の見本空間,即ちW={(i,j);i=1,2,3,4,5,6,j=1,2,3,4,5,6}とする.
Aを2回の目の和が3以下となる事象,即ちA={(i,j)in W;i+j≦3},
Bを2回目に6が出る事象,即ちB={(i,6);i=1,2,3,4,5,6},
Cを2回目に偶数の目が出る事象,即ちC={(i,j)in W;j=2,4,6}
とするとAとBは互いに背反な事象,
BとCの交事象は{(1,2)}.
24：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/10(日) 01:33:49: 試行を行うとき,見本ωに対して,次の性質(1,1),(1,2)を満たすWからRへの関数Pを考える.
さらに事象Aに対し,
　　　　　　　　　　P(A):=��[ω∈A]P(ω)
をAの確率,Aが起こる確率と呼ぶ.
　　　　　　　　　　0≦ P(ω)≦1,P(Φ)=0　　　(1,1)
　　　　　　　　　　��[ω∈W]P(ω)=1　　　　　(1,2)
(西尾本には,P(Φ)=0は(1,1),(1,2)から導出される事実であるかのような書き方がしてあるが,
そもそもPの定義はWからRへの関数としての定義しか与えられておらず,
2^WからRへの関数としての定義は与えられていない.
したがってP(Φ)自体が未定義である.
(1,2)にしたがって性質P(Φ)=0は,
　　　　　　　　　　P(Φ)=��[ω∈Φ]P(ω)
とし,何も足さないと解釈するか,本文で述べたように,Pが持つべき性質に組み込んでしまうしかない.)
25：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/10(日) 01:34:20: Pは見本ωの実現のし易さを与える量と考えられる.
Pは次の性質を満たす.
　　　　　　　　　　P(W)=1.　　　　　　　　　　　　　　　　　(1,3)
　　　　　　　　　　P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).　　　(1,4)
　　　　　　　　　　P(A^c)=1-P(A).　　　　　　　　　　　　(1,5)
A_1,A_2,…が,どの2つの事象も排反のとき,
　　　　　　　　　　P(∪_nA_n)=��_nP(A_n)　　　　　　　(1,6)
26：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/10(日) 01:34:44: 証明 (1,3)
(1,2)よりP(W)=��[ω∈W]P(ω)=1.
(1,4)
まず,AとBが排反なら,
　　　　　　　　　　P(A∪B)
　　　　　　　　　　=��[ω∈A∪B]P(ω)
　　　　　　　　　　=��[ω∈A]P(ω)+��[ω∈B]P(ω)
　　　　　　　　　　=P(A)+P(B)
　　　　　　　　　　=P(A)+P(B)-P(Φ)
　　　　　　　　　　=P(A)+P(B)-P(A∩B).
A⊂BならB=A∪(B-A),A∩(B-A)=ΦよりP(B)=P(A)+P(B-A).
よって一般にA⊂BならP(B-A)=P(B)-P(A).
A∪B=A∪(B-(A∩B)),A∩(B-(A∩B))=Φ,
A∩B⊂Bより
　　　　　　　　　　P(A∪B)
　　　　　　　　　　=P(A)+P(B-(A∩B))
　　　　　　　　　　=P(A)+P(B)-P(A∩B).
27：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/10(日) 01:35:26: (1,5)
A⊂Wより
　　　　　　　　　　P(A^c)
　　　　　　　　　　=P(W-A)
　　　　　　　　　　=P(W)-P(A)=1-P(A).
28：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/10(日) 01:35:40: (1,6)
W={ω_1,ω_2,…,ω_n,…}とすると,
　　　　　　　　　　P(W)
　　　　　　　　　　=P(∪[n=1→∞]{ω_n}),
　　　　　　　　　　P(W)
　　　　　　　　　　=��[n=1→∞] P(ω_n)
　　　　　　　　　　=��[n=1→∞] P({ω_n})
だから,
　　　　　　　　　　P(∪[n=1→∞]{ω_n})
　　　　　　　　　　=��[n=1→∞] P({ω_n})
であり{ω_1},{ω_2},…,{ω_n},…はどの2つも排反な事象である.
29：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/10(日) 01:35:53: よってA_1,…がどの2つも排反であるなら,
A_n={χ_(n,1),χ_(n,2),…}とおくと,
　　　　　　　　　　P(∪_nA_n)
　　　　　　　　　　=P({χ_(1,1),χ_(1,2),…,}∪{χ_(2,1),χ_(2,2),…,}∪…∪{χ_(n,1),χ_(n,2),…,}∪…)　　　　　　　　　　=P({χ_(1,1),χ_(1,2),…,χ_(2,1),χ_(2,2),…,…,χ_(n,1),χ_(n,2),…,…})
　　　　　　　　　　=P(χ_(1,1))+P(χ_(1,2))+…+P(χ_(2,1))+P(χ_(2,2))+…+P(χ_(n,1))+P(χ_(n,2))+…
　　　　　　　　　　=P({χ_(1,1),χ_(1,2),…})+P({χ_(2,1),χ_(2,2),…})+…+P({χ_(n,1),χ_(n,2),…})+…
　　　　　　　　　　=��_nP(A_n)
(収束する正項級数は加える項の順序を入れ替えても同じ値に収束するという事実を用いた.解析概論スレで後述.)
30：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/30(土) 04:02:49: >>19のつづき
二節　空間とその部分集合
抽象空間
抽象空間とは座標や距離など構造が入っていない集合である.
以下抽象空間のことを単に空間という.
空間の元は,点ともいう.
空間Xの部分集合を,Xの中の集合,あるいは空間Xを省略しても差し支えないときには単に集合という.
点xが集合Aに属することをx∈Aと書く.
集合Aと集合Bが一致することをA=Bと書く.
集合Aが集合Bに含まれることを,A⊂Bと書き,AはBの部分集合であるという.
点を1つも含まない集合を空集合といいΦと書く.
集合の集まりを集合族という.
点x,y,…,wから成る集合を{x,y,…,w},
点x_1,x_2,…からなる集合を{x_1,x_2,…}と書く.
条件p(x)を満たすすべての点から成る集合を{x;p(x)}と書く.
この書き方においては,誤解の恐れのない限り簡単に書くことがある.
{x;|x|<1∧x∈R}と書くべきところを単に{x;|x|<1}と書く類である.
31：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/30(土) 04:08:33: 集合に関する演算
A,B,C,…を集合とする.
これらの集合のどれかに含まれる点全体からなる集合を,これらの集合の和集合とか合併集合といい
　　　　　　　　　　A∪B∪C∪…
と書く.
これらの集合すべてに含まれる点全体からなる集合を,これらの集合の交わりとか積集合とか共通集合といい
　　　　　　　　　　A∩B∩C∩…
と書く.
A∩B=ΦのときAとBは交わらない,あるいは互いに素であるという.
A,B,C,…がどの2つも交わらないとき,これらの和集合を直和といい
　　　　　　　　　　A+B+C+…
と清三本では書く.
Aに含まれていてBに含まれていない点全体の集合をAからBを引いた差集合といい
　　　　　　　　　　A-B
と書く.
差集合を考える際,とくにA⊃Bでなくても良い.
32：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/30(土) 04:08:46: (A-B)∪(B-A)をAとBの対称差といい,AΔBと書く.
X-AをAの補集合とか余集合といい,A^cと書く.
集合の列A_1,A_2,…に対して和集合を
　　　　　　　　　　∪[n=1→N]A_n=A_1∪A_2∪…∪A_n,
　　　　　　　　　　∪[n=1→∞]A_n=A_1∪A_2∪…,
直和を
　　　　　　　　　　��[n=1→N]A_nA_1+A_2+…+A_n,
　　　　　　　　　　��[n=1→∞]A_n=A_1+A_2+…,
積集合を
　　　　　　　　　　∩[n=1→N]A_n=A_1∩A_2∩…∩A_n,
　　　　　　　　　　∩[n=1→∞]A_n=A_1∩A_2∩…
と書く.
33：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/30(土) 04:12:02: 定義から次の公式が導ける.
*
1.　A∪B=B∪A,A∩B=B∩A.
2.　(A∪B)∪C=A∪(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C).
3.　(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C),(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C).
4.　(∪[n=1→∞]A_n)∩B=∪[n=1→∞](A_n∩B_n),
　　(∩[n=1→∞]A_n)∪B=∩[n=1→∞](A_n∪B_n).
5.　(∩[n=1→∞]A_n)^c=∪[n=1→∞]A_n^c,
　　(∪[n=1→∞]A_n)^c=∩[n=1→∞]A_n^c.
34：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/30(土) 04:16:51: 証明
1.　x∈A∪B⇔(x∈A)∨(x∈B)⇔(x∈B)∨(x∈A)⇔x∈B∩A,
x∈A∩B⇔(x∈A)∧(x∈B)⇔(x∈B)∧(x∈A)⇔x∈B∩A.
2.　x∈(A∪B)∪C⇔(x∈(A∪B))∨(x∈C)⇔((x∈A)∨(x∈B))∨(x∈C)
⇔(x∈A)∨((x∈B)∨(x∈C))⇔(x∈A)∨(x∈(B∪C))⇔x∈A∩(B∩C),
x∈(A∩B)∩C⇔(x∈(A∩B))∧(x∈C)⇔((x∈A)∧(x∈B))∧(x∈C)
⇔(x∈A)∧((x∈B)∧(x∈C))⇔(x∈A)∧(x∈(B∩C))⇔x∈A∩(B∩C).
3.x∈(A∪B)∩C⇔(x∈(A∪B))∧(x∈C)⇔((x∈A)∨(x∈B))∧(x∈C)
⇔((x∈A)∧(x∈C))∨((x∈B)∧(x∈C)⇔(x∈A∩C)∨(x∈B∩C)⇔x∈(A∩C)∪(B∩C),
x∈(A∩B)∪C⇔(x∈(A∩B))∨(x∈C)⇔((x∈A)∧(x∈B))∨(x∈C)
⇔((x∈A)∨(x∈C))∧((x∈B)∨(x∈C)⇔(x∈A∪C)∧(x∈B∪C)⇔x∈(A∪C)∩(B∪C).
4.x∈(∪[n=1→∞]A_n)∩B⇔x∈(∪[n=1→∞]A_n)∧(x∈B)⇔(∃n∈N;x∈A_n)∧(x∈B)
⇔∃n∈N;x∈A_n∧x∈B⇔∃n∈N;x∈(A_n∩B)⇔x∈∪[n=1→∞](A_n∩B),
x∈(∩[n=1→∞]A_n)∪B⇔x∈(∩[n=1→∞]A_n)∨(x∈B)⇔(∀n∈N,x∈A_n)∨(x∈B)
⇔∀n∈N,x∈A_n∨x∈B⇔∀n∈N;x∈(A_n∪B)⇔x∈∩[n=1→∞](A_n∪B).
5.x∈(∩[n=1→∞]A_n)^c⇔￢(x∈∩[n=1→∞]A_n)⇔￢(∀n∈N,x∈A_n)
⇔∃n∈N;￢(x∈A_n)⇔∃n∈N;x∈A_n^c⇔x∈(∪[n=1→∞]A_n^c),
x∈(∪[n=1→∞]A_n)^c⇔￢(x∈∪[n=1→∞]A_n)⇔￢(∃n∈N,x∈A_n)
⇔∀n∈N,￢(x∈A_n)⇔∀n∈N,x∈A_n^c⇔x∈(∩[n=1→∞]A_n^c).■
35：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/07/02(月) 16:33:17: 集合列{A_n}[n∈N]に対して
∩[n=1→∞]∪[ν=N→∞]A_νを{A_n}の最大極限集合,または上極限集合といい
limsup A_nと書く.
∪[n=1→∞]∩[ν=n→∞] A_νを{A_n}の最小極限集合,または下極限集合といい
liminf A_nと書く.

*
liminf A_n⊂limsup A_n.

証明
x∈liminf A_n⇔∃n∈N;∀ν≧n,x∈A_ν
とすると
∀n∈N,∃ν≧n;x∈A_ν⇔x∈limsup A_n.■
36：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/07/02(月) 16:34:06: liminf A_n=limsup A_nのとき,この集合を{A_n}の極限集合といい
lim[n→∞]A_nと書く.
極限集合が存在するとき{a_n}は収束するという.
37：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/07/02(月) 16:34:43: 直積空間

X,Yを空間とする.
Z:=X×Y:={(x,y);x∈X,y∈Y}をXとYの直積空間という.
A⊂X,B⊂Yとする.
A×B:={(x,y);x∈A,y∈B}をAとBの直積という.
38：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/07/02(月) 16:35:02: 有限集合,無限集合,可算集合

有限個の点からなる集合と空集合を有限集合という.
有限集合でない集合を無限集合という.
無限集合Aの点にa_1,a_2,…,a_n,…と,自然数の番号をつけて
Aのすべての点を並べつくせるとき,Aを可算無限集合という.
可算無限集合と有限集合を可算集合という.
39：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/07/02(月) 16:38:03: 例　Nを自然数とすると{n;n∈N,1≦n≦N}は有限集合,
Nは可算無限集合である.

例　Zは可算無限集合である.

証明
Z={0,1,-1,2,-2,…}とすればよい.■

例　Q^+:={r;r∈Q,r>0}は可算無限集合である.

証明
Q^+={1/1,1/2,2/1,1/3,2/2,3/1,1/4,2/3,3/2,4/1,1/5,2/4,3/3,4/2,5/1…}であるが,
可約分数の重複を除いて
Q^+={1/1,1/2,2/1,1/3,3/1,1/4,2/3,3/2,4/1,1/5,5/1,…}
としたものに左から番号をつければよい.■
40：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/07/02(月) 16:39:03: 例　Qは可算無限集合である.

証明
Q^+の例よりQ^+={r_1,r_2,…,r_n,…}と並べられる.
よって
Q={0,r_1,-r_1,r_2,-r_2,…}と並べられる.■

*　Aを可算集合,B⊂AとするとBも可算集合.

証明
A={a_1,a_2,…,a_n,…}と並べられる.
ここからA-Bの点を除いたものに左から順に番号をつけて,
B={b_1,b_2,…,b_n,…}と並べることができる.■
41：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/07/02(月) 16:42:54: *　A,Bがともに可算集合で,互いに素ならA+Bも可算集合である.

証明
A={a_1,a_2,…,a_n,…},B={b_1,b_2,…,b_n,…},A∩B=Φなら
A+B={a_1,b_1,a_2,b_2,…,a_n,b_n,…}と並べることができる.■

*　A_1,A_2,…,A_n,…が皆可算集合であるなら∪[n=1→∞]A_nも可算集合である.

証明
　　　　　　　　　　A_1={a_(11),a_(12),…,a_(1n),…},
　　　　　　　　　　A_2={a_(21),a_(22),…,a_(2n),…},
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…
　　　　　　　　　　A_n={a_(n1),a_(n2),…,a_(nn),…},
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…
であるとすると
　　　　　　　　　　∪[n=1→∞]A_n={a_(11),a_(12),a_(21),a_(13),a_(22),a_(31),…,a_(1n),a_(2,n-1),…,a_(n1),…}
であるが,重複を除き,有限集合ゆえの欠けを除いて左から番号を付け直せば,
　　　　　　　　　　∪[n=1→∞]A_n={b_1,b_2,…,b_n,…}
と並べることができる.■
42：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/07/02(月) 16:47:03: *　I:={x;0<xleq1,x∈R}は可算集合ではない.

証明
Iの各点は十進小数で表すことができる.0.5=0.49999…などと2通りに表せる点は後者の表現方法に統一すれば,
Iの各点は十進小数で一意に表すことができる.
Iがもし可算集合であるなら
　　　　　　　　　　I={a_1,a_2,…,a_n,…}
と並べることができる.
　　　　　　　　　　a_1=0.α_(11)α_(12)…α_(1n)…
　　　　　　　　　　a_2=0.α_(21)α_(22)…α_(2n)…
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…
　　　　　　　　　　a_n=0.α_(n1)α_(n2)…α_(nn)…
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…
と書けたとする.
ここで各i∈Nに対してβ_iを,α_(ii)=1ならばβ_i=2,α_(ii)≠1ならばβ_i=1と定めると,
　　　　　　　　　　b:=0.β_1β_2…β_n…
は,小数第i位がa_iと異なるので￢(b∈I).
しかるに0<b≦1であるのでb∈I.不合理.■
43：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/07/02(月) 16:48:53: 例　Rは可算集合でない.

証明
Rが可算集合であるとすると*>>40より,例>>42のIも可算集合.矛盾.■

集合に属する点の多さを表す指標に濃度(松坂スレ参照)という概念がある.
有限集合の濃度は,その有限集合に属する点の個数である.
可算無限集合の濃度はaleph_0と表す.
例>>42のIの濃度はalephと表す.
44：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/07/02(月) 22:11:19: 集合の定義函数
Xを空間,Aを集合とする.X上の函数χ_Aを
　　　　　　　　　　x∈Aならばχ_A(x):=1,￢(x∈A)ならばχ_A(x):=0
で定義する.
χ_AをAの定義函数,または特性函数という.
χ_A(x)をχ(x;A)とも書く.
45：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/07/02(月) 22:11:35: *　χ(x;limsup A_n)=limsupχ(x;A_n),
　　χ(x;liminf A_n)=liminfχ(x;A_n).

証明
∃ν≧n;x∈A_νならばχ(x;∪[ν≧n]A_ν)=1,
∀ν≧n,￢(x∈A_ν)ならばχ(x;∪[ν≧n]A_ν)=0,
∃ν≧n;x∈A_νならばsup{χ(x;A_ν);ν≧n}=1,
∀ν≧n,￢(x∈A_ν)ならばsup{χ(x;A_ν);ν≧n}=0
∀ν≧n,x∈A_νならばχ(x;∩[ν≧n]A_ν)=1
∃ν≧n;￢(x∈A_ν)ならばχ(x;∩[ν≧n]A_ν)=0.
∀ν≧n,x∈A_νならばχinf{χ(x;A_ν);ν≧n}=1
∃ν≧n;￢(x∈A_ν)ならばinf{χ(x;A_ν);ν≧n}=0.
よって
χ(x;∪[ν≧n]A_ν)=sup{χ(x;A_ν);ν≧n},
χ(x;∩[ν≧n]A_ν)=inf{χ(x;A_ν);ν≧n}.
ゆえに
χ(x;limsup A_n)=χ(x;∩[n=1→∞]∪[ν≧n]A_ν)=inf{χ(x;∪[ν≧n]A_ν);n∈N}=limsupχ(x;A_n),
χ(x;lim∈f A_n)=χ(x;∪[n=1→∞]∩[ν≧n]A_ν)=sup{χ(x;∩[ν≧n]A_ν);n∈N}=liminfχ(x;A_n).■
46：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/07/02(月) 22:14:45: 問　A∪B=A+(B∩A^c).

解答
A∩(B∩A^c)=A∩(A^c∩B)=(A∩A^c)∩B=Φ∩B=Φ.
A∪(B∩A^c)=(A∪B)∩(A∪A^c)=(A∪B)∩X=A∪B.

問　A=��[i=1]^nA_i,B=��[j=1]^mB_jならばA∩B=��[i=1]^n��[j=1]^m(A_i∩B_j).

解答
k≠pまたはl≠qならば
(A_k∩B_l)∩(A_p∩B_q)=(A_k∩B_l)∩(B_q∩A_p)=((A_k∩B_l)∩B_q)∩A_p=(A_k∩(B_l∩B_q))∩A_p
=(A_k∩Φ)∩A_p=Φ∩A_p=Φ,
∪[i=1→n]∪[j=1→m](A_i∩B_j)=∪[i=1→n](A_i∩∪[j=1→m]B_j)=∪[i=1→n](A_i∩B)
=(∪[i=1→n]A_i)∩B=A∩B.
47：tama ◆U4RT2HgTis：2007/11/07(水) 04:52:50: Nonstandard Analysisってもう流行ってないんでしょうか？
測度論とか量子論への応用にちょっと興味あるんですが，本あんまりないし・・・
48：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/11/07(水) 06:23:55: >>47
図書館いったら東京図書の斉藤さんの本とかあるんとちゃう？
49：tama ◆U4RT2HgTis：2007/11/07(水) 06:46:20: >>48
今まさにその本を図書館で借りて最初らへんを読んでます。付録の討論がいい味出してますｗ
でも絶版になってるし、あんまりはやってないのかなとちょっと気になったもので。

数理物理の関係でたまに出てくるんで気になって齧ってみたんですが，面白いですね。
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