【ｸｿ問】良問をつくるスレ【上等】 - 1160364871

1：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/10/09(月) 12:34:31: 目指せ、良問メーカー！
科目、範囲は何でもいいですが、大学入試向けの数学中心でしょう。

・基本的方針
①問題(既存でもいきなり自作でもおｋ)を投下する
②問題を解く
③改題する
④それを解く

注
・駄問が出来てしまっても(ﾟεﾟ)ｷﾆｼﾅｲ!!
・自作問題や改題案を(自分では解かずに)とりあえず投下するのもありです。

ではまったりとやっていきましょう！
99：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/10/28(土) 13:15:02: >>97
ちょｗｗｗｗ
100：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/10/29(日) 12:11:53: >>92
a_n=log n+��[k=1,n-1]log c_kより
log n/n≦a_n/n≦(log n+(n-1)log 6)/n
ですが。
101：にん猫：2006/10/29(日) 17:59:55: ？
102：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/10/30(月) 17:59:41: >>101
a_n/nは,サイコロの目が全部1だったら0に,
全部6だったらlog6に収束しますね。
そういうグラ賽ではなくって,1,2,3,4,5,6が等確率に出るサイコロ
を使うのだったら,
大数の法則によってa_n/nはlog(6!)^(1/6)に収束しますね。
103：にん猫：2006/10/31(火) 04:40:04: 微妙に話がかみ合ってないのは気のせいですかorz
104：Je n'ai pas de nom!：2006/11/12(日) 14:44:03: 2004個の電球があり、電気はすべてOFFになっています。
電球には1から2004までの番号がそれぞれ1つずつ振ってあります。次の操作を行うとき、最後に電気がONになっている電球は全部でいくつでしょうか？
105：にん猫：2006/11/12(日) 14:53:55: つづきまだー
106：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/11/12(日) 16:10:44: すみません。今日中に解答書きます。
107：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/11/13(月) 01:05:50: すいません。遅くなりました。

△ABCにおいてBC=a,∠B=2α,∠C=2β（α≦β）とおく。△ABCの内接円の半径はrである。
ここでα,βの関係を考えれば、BC=a=r/tanα+r/tanβ　tanα+tanβ=p, tanαtanβ=qと置けば
rp/q=a・・・① ここで∠A=π-2(α+β)より、0＜π-2(α+β)＜π⇔0＜α+β＜π/2⇔p/(1-q)＞0
①よりq(1-q)＞0⇔0＜q＜1・・・②　さらに2α＜α+β＜π/2よりα＜π/4ここで、
tanα,tanβは二次方程式t^2-pt+q=0の二解であるゆえ、この方程式が相異なる二つの
実数解を持つ条件を考えれば、p＞0 p^2-4q≧0⇔q≧4r^2/a（∵①）・・・③ここで、
qは②かつ③を満たすので、これらの条件を満たすqが存在するための条件はa＞2r
ここで△ABCが鈍角三角形であるための条件はπ/2＜∠A＜πまたはβ＞π/4⇔0＜tan(α+β)＜1または
tanα＜1＜tanβ　0＜q＜1より、q＜r/(r+a)またはq＞r/(a-r)・・・④
ここで△ABCの面積SはS=r^2p/q(1-q)=ra/(1-q)・・・⑤
a＞2rよりr/(a-r)＜1 r/(a-r)-4r^2/a=(a-2r)^2/a^2(a-r)＞0
4r^2/a^2＜r/(a+r)となるr,aの条件は、2(1+√2)r＜aである。
これより、2(1+√2)r＞aのときは∠Aは鈍角になることはない。以上より、
2r＜a＜2(1+√2)rのときS＞ra(a-r)/(a-2r)
a＞2(1+√2)rのときra^3/(a^2-4r^2)≦S＜r(r+a), ra(a-r)/(a-2r)＜S

上にも書きましたがtanの対称式に持っていけば以外とあっさりできます。
他の二問も同じようにやればできます。もしよかったらやってみてください。
108：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/11/13(月) 01:34:19: 作ったの俺じゃなくてすれ違いで申し訳ないですが問題を書きます。
自然数nに対して
a(0)=a(1)=1
a(n+1)=a(n)+a(n-1)を満たす数列a(n)を考える。このとき
S(n)をS(n)=��[k=0～n]{a(k)}^2と定義する。
��[k=0～∞](-1)^k/S(k)を求めよ。

解答のあまりの鮮やかさにびっくりしたので。
109：weapon ◆RRlBLdA0dk：2006/11/13(月) 04:51:10: ��[k=0～n]{a(k)}^2=a(n)*a(n+1)
a(n)*a(n+2)-{a(n+1)}^2=(-1)^n
��[k=0～n](-1)^k/S(k)=��[k=0～n]((a(k+2)/a(k+1))-(a(k+1)/a(k)))=2-((a(n+1)/a(n))
��[k=0～∞](-1)^k/S(k)=(3-√5)/2
110：にん猫：2006/11/13(月) 04:57:10: >>108
Σak^2=an・an+1？
111：weapon ◆RRlBLdA0dk：2006/11/13(月) 05:23:07: 訂正
��[k=0～n](-1)^k/S(k)=��[k=0～n]((a(k+2)/a(k+1))-(a(k+1)/a(k)))=(a(n+2)/a(n+1))-1
��[k=0～∞](-1)^k/S(k)=(√5-1)/2
112：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/11/13(月) 19:27:18: >>107
おおおお超GJ!!
なるほど、tanに持ち込んで丁寧に条件を言い換えていくかんじですね。
あっさり、ていうけどこれ完璧にやるのは相当な処理能力な気がする。
おみそれいたしました。
113：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/11/13(月) 19:49:46: >>111
正解です。
＞a(n)*a(n+2)-{a(n+1)}^2=(-1)^n
これ気付くのが特に難しいと思うんですがあっさりできちゃいましたかｗ
脱帽です。
>>112
tanを使うと面積が意外ときれいな式になりますね。これはおれ自身作ってて
驚きました。
114：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/11/13(月) 19:55:12: >>107の訂正です
③のところ正しくはq≧4r^2/a^2です。
115：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/11/17(金) 23:52:23: 問題でーす

一辺の長さが2の立方体の内部に存在する点Pとこの立方体のそれぞれの頂点を
結ぶ直線に垂直でそれぞれの頂点を通る平面を考える。
（１）これらの平面によって囲まれる立体は八面体であることを示せ。
（２）この八面体の体積の最小値を求めよ。
116：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/11/17(金) 23:54:22: >>32のほかの問題もよかったら。
117：にん猫：2006/11/18(土) 17:10:55: ある閉曲面上の任意の点と原点では
平面の方程式をf(x,y,z) とあらわすとして、８つの内少なくとも一つのfの符合が違う

ってのは八面体であることの必要十分条件？
118：Je n'ai pas de nom!：2006/11/18(土) 17:54:47: 愚直に考えたら、互いに平行でない３つの平面のが作る３つの交線と唯一の交点に対して、
４枚目の平面が、どの交線も含まずに唯一の交点を含めば、その４つの平面は八面体の
ある頂点を共有する４面を構成しうると思う。
けど、そんな条件を直交座標やベクトルで計算する気せん。ｗ
119：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/11/19(日) 19:51:57: 対象性つかったらそこまで計算はいらないと思います
120：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/12/25(月) 01:28:44: お久しぶりです。
joytoy氏と共著でこんなものできちゃいます田ｗ
joytoy氏に感謝感謝です
http://homepage2.nifty.com/enjoying_math/index.htm
121： ◆ZFABCDEYl.：2006/12/25(月) 06:21:14: 聖夜に風邪を引いて悪寒・頭痛状態の悲しい者です。

>>120
すごぃの一言じゃ・・。
ハイレベルのテキストという感じで素晴らしい(･∀･)の一言。
それに僕にとっていうおい氏の出題傾向はとても新鮮な印象を受けます。
僕にはいうおい氏の数学が何で育ったのかが掴めない・・。
チャート系，数檻系じゃないし，駿台系でもないし，受験板系，数学板系
でもないというか。

先生は大学で学ぶ本格的な数学系。
９氏は大数系と東大過去問系。
＆先生の素地はなんとなく乙会系。
台地氏は大数系。
ラメ氏は京大過去問系とますのり系。
1対1先生は大数系。
グリーン氏は進研ゼミのハイレベル系に数研の問題集系が加わったというイメージ。
僕はチャ系と駿台系と医大過去問系。古臭いというかバタ臭い系統というべきか。
ｎ厨氏は非常にバランスが良くて，数檻系，チャ系，乙会系，駿台系，関西系って感じ。
僕は河合・代ゼミに通ったことはないからどういう系統か分からないけど
いうおい氏は何となく予備校系統じゃない気もするんです。

同じハイレベルでも新種じゃないかって気がする。
あーく氏に似てるという気もする・・。甲陽系っていうんでしょうか。
122： ◆ZFABCDEYl.：2006/12/25(月) 06:33:41: いうおい氏って河合塾系・甲陽系かなぁ。何となく。

その人その人で育ててきた数学のルーツを探る学問でもつくろうかな。
もちろん日本国内限定で。(外国は全く分からないから・・)
大数系・チャ系・数檻系・乙会系・駿台系・河合系・代ゼミ系
などなど。名づけて「日本人の数学ルーツ学」。研究を重ねたら
イグノーベル賞がもらえるかもしれない。
123：green：2006/12/29(金) 05:17:44: >>121
よくみたら俺も入れてくれてるのね
　｡･ﾟ･(ﾉ∀`)･ﾟ･｡
124： ◆ZFABCDEYl.：2006/12/30(土) 01:54:37: >>120
恐ろしいほど解けなくなってる現実がありました。
何か普通に暮らしていると入試数学がとても異質な世界に感じる。
開いちゃいけないパンドラの箱の世界というか・・。(´Д｀;)
封印しておかねば!!という感覚に陥りました・・。数学の掲示板で
申してはいけないことですが，あくまで正直な感想で。

でも，現時点では数学と完全に無縁じゃない世界には生きているんですよ。
ペーハーではlogを使うし，物理の講義でもちょこっと微積が出たし。
グラフを書くときは最小二乗法という平均値のグラフを使ったし，片対数
両対数のグラフも書いたし・・。
125： ◆ZFABCDEYl.：2006/12/30(土) 02:01:57: >>123
green氏が主流でござんす。。
126：green：2006/12/30(土) 02:43:29: >>121
いうおい氏は黒大数（ハードカバーの「大学への数学」(研文書院))を使っていたと
書いてあったような気がする。知的トークスレだったかな。
127：green：2006/12/30(土) 02:46:30: 黒大数＝駿台系　ではないかな？
128：green：2006/12/30(土) 02:57:23: 俺も自分で問題を作れたら楽しいだろうなと人の作品をみるとよく思う。
てゆーかすごいよ、あなた達は。今の俺には公立中学数学レベルで数値を変えるくらいしかできん。
129：ソラ：2006/12/30(土) 13:45:24: はじめまして。今日初めて見たのですが、
数学がとても好きな人間のひとりなので、書き込ませていただきます。

今まで解いてきた某S台やいろいろな場所での問題の中で、面白いなあとか思うのがたくさんあるので、
また少しずつ書き込んでみます。
130：Je n'ai pas de nom!：2007/01/01(月) 01:32:56: http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1166904000/l50
131：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2007/01/01(月) 12:15:30: みどりのおじさんはロムだったのかｗ
その通りで黒大数がほとんど俺の全てといってもよいですね。
後は今まで受けた東大もしとか京大もしとか。
上の問題も今まで自分の解いてきた問題を一般化したり設定を複雑にして
やったのが多いですね。じょいとい氏にも傾向が偏ってるといわれました
もうちょい幅広く行きたいものです。アレは未完、、かな
132： ◆ZFABCDEYl.：2007/01/02(火) 19:47:01: あけましておめでと。

>>131
すごく良く練られた問題が多いでつね。
受験生の人はとても勉強になるんじゃないかなと。
でも現役離れた今，僕には解く気力が残ってぃなぃ。
133： ◆ZFABCDEYl.：2007/01/02(火) 19:52:03: >>129
ソラさんはじめまして！
どおかこの研究所を盛り上げていってくだされ。。

僕は数学に対する気力がゼロになっているのですが，
こればっかりはもう直せないみたいです。自然の摂理みたい。
ただこの研究所にカキコすると，なぜか数学の勉強をしたような
気になれるというか(´Д｀;)。結構，数学系の本は買ったんですけどネ・・。
134： ◆ZFABCDEYl.：2007/01/02(火) 20:40:18: いうお問で1番特徴的な分野は第3章と第5章だと思う。

(1)図形の問題について。
問題文に与えられた図形の設定条件から，適当な変数を自分で設定し，
その変数の満たすべき式(不等式)を過不足なく作る。次に，その式を
満たす変数(実数)が存在しうるかどうかを，実数の存在条件に帰着させる。

(2)確率の問題について。
確率は受験生が軽視しがちな範囲。実際，たいていの入試問題には
「これに気づいてネ」「過不足なく頑張ろうネ」という暖かい
まなざし(誘導)が根底にある。しかし，いうお問は逆。
何しろ，いうお問の確率の問題文からは凄まじい気迫とオーラ
が放たれているのだ。これがいうお問の最大の特徴だと思う。
135：にん猫：2007/01/02(火) 22:21:10: なんにせよ、自分で問題作れるのってすごいですねえ
自分は解く専門だorz
136：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2007/01/03(水) 11:43:02: 図形問題で変数設定とか誘導でつく場合も多いですがその設定の仕方は数学的センス
が問われるところだと思うのでそこは腕の見せ所ではないでしょうか。その分難易度も
大幅アップって所ですね
確率の場合も漸化式等を立てて解く問題が特にですがこの漸化式を立てるのを思いつけるか
どうかも数学的センスだと思います。
137：ソラ：2007/01/04(木) 20:38:44: そろそろセンター試験ですね。
少し燃料を投下します。

[001]

　以下の不等式 (イ)、(ロ) について、(イ) を満たすすべての実数 x が (ロ) を満たすための a,b が満たす
必要十分条件を求め、ab平面上に図示せよ。
　　　　　　(イ)　x^2+ax+b > 0
　　　　　　(ロ)　x^2+bx+a > 0

[002]

　n は 2 以上の自然数とする。

　(1) n-1 個の自然数 2,3,…,n の最小公倍数を L とし、
　　　　　　a[2]=L/2、a[3]=L/3、…、a[n]=L/n、
　　　とするとき、a[2]、a[3]、…、a[n]　のうち少なくとも 1 つは奇数であることを示せ。

　(2) 1+(1/2)+(1/3)+…+(1/n) は整数でないことを示せ。

[003]

　最初箱の中に、白球 (n-2) 個、赤球と黒球が各 1 個ずつ計 n 個が入っている。
この箱から次の規則に従って球を 1 個ずつ取り出す。

　(ア)　白球が出ると手元に置いて箱の中に戻さず、1個少なくなった箱の中から次の球を取り出す。

　(イ)　赤球が出ると手元にある白球も含めすべて箱の中に戻し、箱の中を最初の状態に戻す。

　(ウ)　黒球が出たところでこの操作を終了する。

黒球が出てこの操作が終了したとき、箱の外に置いてある白球の個数の期待値を求めよ。
138： ◆ZFABCDEYl.：2007/01/19(金) 03:00:34: ソラさんすごぃ・・

もうじきセンタ試験ですね。受験生の方頑張って下さい！！
僕の感想ではセンタ試験で一番気をつけて欲しい科目は地理です。
僕はセンタ試験の地理の勉強に２，３週間を費やして，
出そうなところを覚えたんですが，本番ではその知識が
全然役に立たないという恐ろしい科目でした。
今からじゃ遅いアドバイスだけど，地理はやめとけって感じです・・。
139：ソラ：2007/01/26(金) 20:55:11: >>138
その通り地理は難しかったみたいで。センターは日本史で受験でした…そのおかげで9割突破できたんで良かったです。(´∀｀)

これからはひたすら２次です。数学やりたいですけど…時間が…
140： ◆ZFABCDEYl.：2007/01/31(水) 23:55:24: >>139
お。日本史(･∀･)ｲｲ!
９割突破おめでとうございます！
ていうか，ソラさん受験生だったんですね・・。
２次試験も頑張って下さい！
141： ◆ZFABCDEYl.：2007/02/01(木) 00:40:09: 僕が日本史？の中で一番興味ある人物は
初代の酒井田柿右衛門。どういう人だったんだろう？

現代では柿右衛門は14代になっていて，デパートの外商の人が
良く宣伝していますよね・・。展示会とか。
確かに高価な壷だし，人間国宝のような先生が作ったものだし，
絵の部分も白い陶器の部分も美しいんだけど何だか緊張感が漂うんです。

僕は何ていうか値段云々でなく，ホッとする感じのお皿のほうが好きなんです。
いろいろな店を訪ねたり，図書館でいろいろなジャンルの陶磁器を見てるけど，
どうやら僕が好きなのは唐津・織部・信楽といったジャンルみたいです。
うちの父は柿右衛門が大好きなんだけど僕は逆（´Д｀;）。
142： ◆ZFABCDEYl.：2007/02/01(木) 00:44:46: でも一方で，和ガラスはとても好きなんです・・。
自分でも変に感じたけど，何か矛盾した好みですね(´Д｀;)。

でも見ていて和むものが(･∀･)ｲｲ!ですね。
143： ◆ZFABCDEYl.：2007/02/01(木) 01:04:25: める欄。X=2～9。

子供の頃から貯めてきたお年玉とか入学祝いなどで買ったもの
で，あとオネダリしたのも数個(；´Д｀)。
昔のカテキョ代と今のバイト代はプラモ関係で少し消費したけど
今は収集趣味を凍結してます。キリがないから・・。
それでそのまま何か急に無趣味化したみたいです。
数学を趣味にするかな。。|ω･´)
数学作問スレで雑談してしまってごめんなさい。
144：ソラ：2007/02/02(金) 11:43:09: >>140
実は…去年の高校生の時は数学しかしてなくて案の定落ちました(´д｀;)

酒井田柿右衛門！知ってます。
「地歴で受けるより、公民分野のほうがラクだよ」とさんざん言われたのですが、
日本史が好きだったので突き進んだところ大成功でした。

なんか僕も西洋の派手派手グラスは苦手なんですよね。。(・∀・)♪
今のとこ、数学は隠れ趣味の一つです(`・ω・´)

神大の問題に手を加えてみました。|***| は絶対値です(・∀・)。

[004]

　n を 2 以上の整数とする。1 から (2n+1) までの数字が 1 つずつ書かれた (2n+1) 枚のカードが袋に入れられている。
それを 1 枚引いて戻さない試行を n 回繰り返す。k (k=1,2,…,n) 回目に引いたカードに記載されている数を a[k] とおき、
整数 X[n] を
　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　X[n] = |a[1]-a[2]| + |a[2]-a[3]| + … + |a[k]-a[k+1]| + … + |a[n-1]-a[n]|

で定める。このとき、X[n] が偶数となる確率 p[n] を求めよ。
145： ◆ZFABCDEYl.：2007/02/03(土) 00:02:03: 001を対偶とそうでないときとで答が分裂する件＿|￣|○
004はX(n)が偶/奇で|a[n-1]-a[n]|が偶/奇の4通りで
わければよいのかな

数学がどんどんできなくなっている件
146：にん猫：2007/02/03(土) 16:34:28: a[1]が偶数のときa[n]の偶数
a[1]が奇数のときa[n]の奇数
じゃないですか?
147：Je n'ai pas de nom!：2007/05/28(月) 09:01:18: 二次正方行列 A = ([a11, a12],[a21, a22])に対して
f(A) = √((a11)^2+(a12)^2+(a21)^2+(a22)^2)　と定義する。
このとき次の命題を証明せよ。

二次正方行列A,Bに対して
(1)　f(AB)≦f(A)+f(B)
(2)　f(A+B)≦f(A)+f(B)
(3)　ある実数rが存在してf(A)≦r, f(B)≦rとなるならば、
　　任意の自然数nに対して　f(A^n-B^n)≦nr^(n-1)f(A-B)
148：Je n'ai pas de nom!：2007/06/06(水) 15:29:59: ↑
(1)　f(AB)≦f(A)f(B)

ですね。訂正。