【ｸｿ問】良問をつくるスレ【上等】 - 1160364871

48：某信者：2006/10/16(月) 19:49:55: 訂正
問題を考えているうちに、頭の中で、肯定文の文章が否定文になっていたようです。
×題意を満たすような集合Aが存在したとする。
○題意に反するような集合Aが存在したとする。

電車の中で考えていたら帰納法でも一応解けたので書きます。

n+1個の正整数の集合がある。ただし、これらのうちのどれも2nを超えない
数とする。このとき、この集合の要素の少なくとも1つは、この集合の他の
要素の約数である……（♯）
n=1のとき（＃）が成り立つことは自明。
n=kのとき（＃）が成り立つと仮定すると、n=k+1のときも成り立つ。これを以下で示す。

k+2個の正整数の集合Aがある。
ただし、これらのうちのどれも2(k+1)を超えない数とする。
ここで、Aの要素のうちk+1個以上が2k以下の場合、
n=kの時の仮定よりこの集合の要素の少なくとも1つは、この集合の他の要素の約数である。

次にAの要素のうちk個が2k以下、2k+1,2k+2がAの要素の場合を考える。
k+1がAの要素であるならば、k+1は2k+2の約数となる。
k+1がAの要素でないとき、k+1は2k+2の約数であるから、k+1の約数がAに含まれるならば、
Aは（＃）を満たす。
今、Aには2k以下の要素がk個含まれているから、k+1がAに入ったときAの2k以下の要素はk+1個となり、（＃）を満たす。
よってAは（＃）を満たす。

以上より、数学的帰納法から任意の自然数nについて（＃）が示された。

撃沈してます。説明が難しいですｗｗｗｗ
証明のキモは、
「2k+2がAの要素ということは、k+1がAの要素と同値。
Aの2k以下の要素はk個だから、2k+2がAの要素のとき、
Aの2k以下の要素はk+1個と同じことになり（＃）を満たす」
ってことなんですが、上手く言えない。
49：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/10/16(月) 21:33:19: >>32
ぐ・・・ムズい・・・一番から苦戦。
良問の悪寒。やるな駅便氏。
ていうか駅便氏って受験生だったのか・・・。
50：weapon ◆RRlBLdA0dk：2006/10/16(月) 21:34:22: >>45
(2)のヒント
(2^x)*(y)　(xは非負整数、yは奇数)

>>46
>>47

>>47
＞条件より∀x∈A' n+1≦x≦2n かつxは整数。
？

>>48
k+1がAの要素でないとき、B={Aの2k以下のk個の要素}∪{k+1}を考えてみるとか
51：weapon ◆RRlBLdA0dk：2006/10/16(月) 21:35:24: 訂正
>>45→>>44
52：たま ◆U4RT2HgTis：2006/10/16(月) 21:48:23: ｵﾋｻｼﾌﾞﾘです．>>25面白いですね．
なんか先に解かれてるけど，解答書いたし晒しときます．

条件を満たす集合をAとおく．
帰納法で示す．
(1)n=1のとき {1,2}しかありえないので，1は2の約数となりok
(2)m<nなるmについて成立するとする．
(a)Aが2nまたは2n-1を含まないとすると，Aは2(n-1)以下の元をn個以上含む．
よって，仮定よりok
(b)Aが2nおよび2n-1を含むとする．
Aがnを含むと仮定すると，nは2nの約数なのでok
Aがnを含まないとする．このとき，A∪{n}は2(n-1)以下の元をn個含むので，
ある元i∈A∪{n}が他の元j∈A∪{n}の約数となる．
i≠nかつj≠nならばok
i|jよりj≧2iなので，i=nとなることはない．
j=nならばi|n|2nなので，i∈Aが2n∈Aの約数となりok

鳩ノ巣原理で示す．
任意の整数はk=p*2^i(pは奇数)と一意にかける．
k=p*2^i,l=q*2^jと書いたとき，p=qならばk～lと書くこととする．
kが2n以下なので，pとして選べるのは1～nのn通り，
よって，2n以下のn+1個の正整数のうちk～lなるk,lが存在する．
このとき，k=p*2^i,l=p*2^jとなり，
k|lまたはl|kが成り立つ．
53：weapon ◆RRlBLdA0dk：2006/10/16(月) 22:21:54: >>52
＞kが2n以下なので，pとして選べるのは1～nのn通り，
1～nはおかしいですね。
あとは完璧です。流石。
54：たま ◆U4RT2HgTis：2006/10/16(月) 22:25:09: 帰納法は>>48と全く同じですねorz

>>53
「1～n」は「1からn」のつもりで書きました。紛らわしいorz
無理して同値関係定義するんじゃなかった。

>>47
このやり方でやるなら，Aを題意に反する集合として
k∈Aならば任意のi≧2にたいして2^i*kがAに含まれることはない．
また，k≠lならば，2^i*kと2^j*lが等しくなることはない．
(∵もし等しくなれば、2^(i-j)*k=lまたは2^(j-i)*l=kとなりAの定義に矛盾)
よって，Aの元をそれぞれ適当に2^i倍して、n+1≦2^i*k≦2nとできる．
こうして作った集合をA'とすれば，上に述べたことよりA'はn+1個の元からなる．
これはn+1≦m≦2nなるmがn個しかないことに反する．
こんな感じかな？
55：たま ◆U4RT2HgTis：2006/10/16(月) 22:26:24: >>54
訂正
×任意のi≧2→○任意のi≧1
56：たま ◆U4RT2HgTis：2006/10/16(月) 22:32:04: >>54
もいっちょ訂正。
×また，k≠lならば，
○また，k,l∈Aかつk≠lならば，
57：たま ◆U4RT2HgTis：2006/10/16(月) 22:45:33: >>54
ああ、やっぱりなんかわかりにくなorz
ちゃんと書き直します。

Aを題意に反する集合として，
k,l∈Aかつk≠lならば，任意のi,j≧0に関して
2^i*k=2^j+lとなることはない．―――(＃)
(∵もし等しくなれば、2^(i-j)*k=lまたは2^(j-i)*l=kとなりAの定義に矛盾)
また，k≦nならばk＜2*k≦2nなので，kを適当に2^i倍することで、
n+1≦2^i*k≦2nとすることができる．k∈Aに対してこのような2^i*kをk'とおく．
A'={k'|k∈A}とすると，(＃)よりA'はn+1個の元からなる集合で，
k'の作り方からA'の元は全てn+1≦k'≦2nとなるが、
これはn+1≦m≦2nを満たす整数がn個しかないことに反する．
58：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/10/17(火) 01:22:49: >>信者
久しぶりだね。留年確定なんてどうってことないよ。がんばれ
>>weapon氏
こういう問題がまさに数学という感じがしますが俺正直苦手ですね。あっぱれ。
解答読んで納得することにします。
>>臺地氏
倍角とかうまく使えばできますお

やっぱみんなすごいお、、、
59：某信者：2006/10/17(火) 08:15:34: >>47訂正orz
Aのn以下の要素mは、2倍するんじゃなくて、
[n/m]+1倍じゃないとだめですねorz
60：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/10/18(水) 23:38:19: >>47
＞2外のせいで留年がほぼ確定しました。。。
平均点合格という素晴らしいシステムがあるじゃないっすか。
ていうか1年→2年は無条件で進級できるんじゃなかったけ。かわったのかな。

>>58
内心の条件を使うのかー
また考えて見ます。
61： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/20(金) 00:15:39: >>58
トリ見て気づいたけど，駅便所氏はいうおい氏だったのか！
前から不思議で仕方なかったんですが，「いうおい」の名前の由来を
よければ教えてくだされ!!この謎が解けずに悩んでおりました。
62： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/20(金) 00:16:52: ちなみに「駅便所」の由来はいいです(；´Д｀)
63：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/10/20(金) 22:10:57: >>32(I)
三角形ABCでAの対辺の長さaとする。内接円と、辺BC、CA、ABの接点をそれぞれA',B',C'とする。
A'C=B'C=y、AB'=AC'=zとおく。
(i)A(=2θとおく)が鈍角のとき
S=(a+z)r、ztanθ=rよりS=(a+r/tanθ)r
θの範囲を求める：S=1/2(y+z)(a-y+z)とa^2=(y+z)＾2+(a-y+z)＾2-2(y+z)(a-y+z)cosθ
を使ってθの範囲を・・・・まじっすか

(ii)C(=2θとおく)が鈍角のとき
a>2rが必要で、0<y<r。45度<θ<90度。
S=(a+z)r、S=1/2a(y+z)sin2θ、ytanθ=rより、S=(ar^2cos2θ-a^2rsin2θ+ar^2)/(2r-asin2θ)
θで微分して極値を・・・・・まじっすか

えーと、これは所謂降参ってやつ？
すんばらしい文字設定があるのかな・・・でもぜったいムズイってこれ！
64：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/10/20(金) 22:44:10: >>63
∠B、∠Cをそれぞれ2α,2βと置いて正弦低利つかって△ABCの面積を表して・・・
とやっていくのはどうでしょう？
65：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/10/20(金) 22:45:47: ちなみにtanの対象式が出てきます。
66：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/10/20(金) 22:56:20: 正弦定理じゃなくても出ますが
67：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/10/21(土) 01:19:55: 投下してみようかな。

数列{a_n}をa_1=0,ne^(a_(n+1))=c_n*(n+1)e^(a_n), (n≧1)で定める.
ここに,c_nはサイコロをn回振ってn回目に出た目であるとする.
次の問いに答えよ.
(1)　1≦k≦nをみたすすべての自然数kに対してc_k=6のときa_nを求めよ.
(2)　数列{a_(n+1)/a_n}はc_1,c_2,…,c_n,…の値によらず同じ極限値に収束することを示せ.
68： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/21(土) 15:37:12: >>67
(1)
a(k+1)-a(k)=log{c(k)}+log(k+1)-logk (k≧1)・・・ア

はじめにn≧2 のときを考える．
アに k=1，2，・・・，n-1を代入すると，
a(2)-a(1)=log{c(1)}+log2-log1
a(3)-a(2)=log{c(2)}+log3-log2
・・・
a(n)-a(n-1)=log{c(n-1)}+logn-log(n-1)
を得る．このn-1個の式の辺々を加えて
a(n)-a(1)=log{c(1)*c(2)*c(n-1)}+logn-log1
⇔ a(n)=log{n*c(1)*c(2)*c(n-1)} (n≧2)
を得る．いま，c(1)=c(2)=・・・=c(n-1)=6 とすれば，
a(n)=log{n*6^(n-1)}=(n-1)log6+logn (n≧2)．
これは n=1 としても正しいから，a(n)=(n-1)log6+logn (n≧1)

(2)
n≧2 として考える．Σ[k=1,n]log{c(k)}=S(n) とおくと，
a(n)=logn+S(n-1)，a(n+1)=log(n+1)+S(n-1)+log{c(n)} であるから，
a(n+1)/a(n)=1+〔〔log{c(n)}〕/{logn+S(n-1)}〕
∴ lim[n→∞]a(n+1)/a(n)=1になるんじゃないかと。
69： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/21(土) 15:41:48: a(n+1)/a(n)
=〔log(n+1)+S(n-1)+log{c(n)}〕/〔logn+S(n-1)〕
だった。ここで厳密に証明してから
lim[n→∞]a(n+1)/a(n)=1 になるのか。。ここが(2)の肝じゃ・・
70： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/21(土) 23:52:02: (2)
n≧2 として考える．Σ[k=1,n]log{c(k)}=S(n) とおくと，
a(n)=(logn)+S(n-1)，a(n+1)=log(n+1)+S(n-1)+log{c(n)}．
0≦S(n-1)≦(n-1)log6，0≦log{c(n)}≦log6 であるから，
logn≦a(n)≦(logn)+(n-1)log6，log(n+1)≦a(n+1)≦log(n+1)+nlog6．
よって，{log(n+1)}/logn≦a(n+1)/a(n)≦{log(n+1)+nlog6}/{(logn)+(n-1)log6}
が成り立つ．n→∞のとき，
{log(n+1)}/logn→1，{log(n+1)+nlog6}/{(logn)+(n-1)log6}→1 だから
はさみうちの原理でlim[n→∞]a(n+1)/a(n)=1となる。
これはc(1)，c(2)，・・・，c(n)の値によらないので題意は示された。
71： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/21(土) 23:56:40: >>63
僕もそこまでで解けなかったです。
72： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/22(日) 00:03:15: ていうか大きくミスってたし・・・

{log(n+1)}/{(logn)+(n-1)log6}≦a(n+1)/a(n)≦{log(n+1)+nlog6}/(logn)
が成り立つ．n→∞のとき，
{log(n+1)}/{(logn)+(n-1)log6}→0，
{log(n+1)+nlog6}/(logn)→∞
となってあぼんしました。もっときつく範囲を狭めた不等式が必要か
73： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/22(日) 00:17:37: どんどんメッキがはがれる数学力♪

logの計算も忘れかかってた・・。
最初，ふんふんと鼻を鳴らしながら
logA/logB=logA-logBなどというトンデモ系の計算をしていたことは
悲しい現実である。これでも去年までは数学が得意だったんですけど
かなり忘れちゃった。
74：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/10/22(日) 02:07:28: １になるっぽいですができそうでできないっす
75：Je n'ai pas de nom!：2006/10/22(日) 11:59:58: ｌｏｇ（ｎ＋１）－ｌｏｇｎ＜１／ｎ。
76：Je n'ai pas de nom!：2006/10/22(日) 15:51:20: >>75
全角氏はこんなマイナーなサイトもチェックしてるのか・・・。ｗ
77：Je n'ai pas de nom!：2006/10/23(月) 17:58:02: >>72
もうすこし不等式を観察して。
78： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/24(火) 12:44:28: >>75
神。その不等式に気づかせる誘導(ヒント)を
入れといてくれーという感じですな。

a(n)＞0，0＜a(n+1)-a(n)＜(1/n)+log6 より，
0＜{a(n+1)/a(n)}-1＜〔1/{na(n)}〕+{(log6)/a(n)}
が得られて，logn≦a(n) より，追い出しの原理で，lim[n→∞]a(n)=+∞
だから，はさみうちで，lim[n→∞]〔{a(n+1)/a(n)}-1〕=0 となるから
a(n+1)/a(n)→1 (n→∞)。
79： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/24(火) 12:52:11: >>76-77
全角氏のヒントの的確さはやっぱり並じゃないですな。
80：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/10/24(火) 14:22:05: ＞こけ
念のため。>>75の不等式が成り立つ理由は？
また、>>75を遣わずに1に収束することを示せますか？

君ほどの人でも受験から半年遠ざかると>>70のようなことしちゃうのかあ。。。
81： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/24(火) 16:55:06: >>80
f(x)=x-log(1+x) (x＞0) とおくと，
f'(x)=x/(1+x)＞0 であるから，f(x)＞f(0)=0．
よって，f(1/n)＞0 より，ｌｏｇ（ｎ＋１）－ｌｏｇｎ＜１／ｎ。

>受験から半年遠ざかると>>70のようなことしちゃうのかあ。。。
(￣ｗ￣)・・・
82： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/24(火) 17:26:35: ていうか大学に入ってから，ほとんど数学そのものが目の前から
消えた暮らしになったんです・・。数学の講義も内容がショボっ
としてる上にほとんど出なくても大丈夫だし・・。でもみんなそう
なるみたいですよ。結局忘れちゃうんだから未修とあんまり変わん
ないよねなんて話は良く出ます。それでも僕はちょっとは努力
してるんですけど・・。数学忘却率が最大の人の場合，
sin(π/3)，sin(π/6)の値が答えられないって人が結構いました。
でも僕はそれはさすがに覚えていました。tan(π/2)=0っていう誤答
はしちゃったけど。(でもこれは正答率３割くらいだったらしいからまあ間違えてもおｋ)

いろいろと独学用に本を揃えたんですけど，結果としては
１個も読んでいません・・。でもみんなと一緒にテスト勉強して
sin，cos，tan，sin^(-1)，cos^(-1)，tan^(-1)の値を覚えなおしたり
して結構真面目に勉強しました(´Д｀;)。
83： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/24(火) 17:35:06: でも塾講している人は今でもかなりできるみたいです。
僕はカテキョでこけたので塾講できないです・・。
84： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/24(火) 17:46:02: というわけで問題投下。

(1) f(x)=ax^3+bx^2+cx+dを定義に従い微分せよ。
(2) f(x)=sinxを定義に従い微分せよ。
(3) f(x)=x^2+x+1のｘ=０から１までの平均変化率はいくらか。
(4) 積分の応用例は面積や体積がある。じゃあ微分の応用例は？
(5) 歴史的には微分と積分のどっちが先に開発されたか。
85： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/24(火) 20:41:46: あ。

＞>>75を遣わずに1に収束することを示せますか？

これについては考えていませんでした。ちょっと考えて見ます。
86：Je n'ai pas de nom!：2006/10/24(火) 20:56:40: >>84
(4)　速度、加速度の計算。曲線の最大・最小値。
(5)　積分が先。アルキメデス等、古代ギリシャ人は面積、体積という物理量を数値化していた。
　　ちなみに、当時は「速さ」の概念もあったが、等速度運動の場合のみ数値化できていた。　
　　非等速運動の場合は、「0/0になるから、数値化不可能だ！」って逆切れしたとかしないとか・・・。
87： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/24(火) 21:04:53: >>86
すごい！完璧だ・・。
ちなみに(5)を僕が間違えたことはいうまでもない＿|￣|○
88： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/25(水) 00:57:02: >>85
うーんどうしてもそれしかできない・・・。以下は反省文。

全角不等式のことなんだけど，これは受験時ならなんとか気づけてたかも。
x>0ならx-(1/2)x^2<log(1+x)<xが成り立つっていうお約束不等式があったわけで。
だいぶ学力が低下しているなあと反省。
89：にん猫：2006/10/27(金) 01:06:23: いつの間にこんなスレがorz
90： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/27(金) 20:00:34: >>80
そういえばよければ別解教えてください。。
あと，ちょっと発展として考えたんですけど，
mが正の整数の定数なら，lim[n→∞]a(n+m)/a(n)=1 になりますね。
同じようにはさみうち原理で。
そこで考えてみたんですが，llim[n→∞]a(n)/nは求まりますかね？
91：にん猫：2006/10/27(金) 20:12:12: >>90
後半はサイコロの出目で極限値変わるような
92：にん猫：2006/10/27(金) 20:52:58: S(n)=o(logn)
S(n)=Θ(logn)
S(n)≠Θ(logn)∧S(n)=O(logn)
で考えると一応それっぽくなります
厳密に議論できるのかって言われたら俺には厳しいですが・・・
93： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/27(金) 22:32:09: >>92
すみませぬ。o(logn)とΘ(logn)って何でしたっけ(´Д｀;)？？
オーダーでしたっけ。。
94：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/10/28(土) 01:25:38: >>90
(1)　ne^(a_(n+1))=c_n(n+1)e^(a_n)
⇔e^(a_(n+1))/(n+1)=c_ne^(a_n)/n.
よって帰納的に
e^(a_n)/n=(Π_[k=1,n-1]c_k).
これより
a_n=log n+��_[k=1,n-1](log c_k).
1≦k≦nをみたすすべての自然数kに対してc_k=6のとき
a_n=log n+(n-1)log 6.

(2)　a_(n+1)/a_n
=(log(n+1)+��_[k=1,n](log c_k))/(log n+��_[k=1,n-1](log c_k))
=(log n+log(1+(1/n))+��_[k=1,n-1](log c_k)+log c_n)/(log n+��_[k=1,n-1](log c_k))
=1+(log(1+(1/n))+log c_n)/(log n+��_[k=1,n-1](log c_k))
≦1+(log(1+(1/n))+log 6)/(log n).
以下略。。。でいいよね。
95：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/10/28(土) 01:39:48: あれ
俺なんでできなかったんだろｗ
96： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 02:00:25: >>94
おおお。ありがとうございます。あとで読んでみます。
97： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 02:03:02: >>95
おそらくミッドライフクライシス(男性更年期)じゃないかと。
僕も今その真っ只中にいます。お互いガンがって乗り越えようね♪
98：にん猫：2006/10/28(土) 07:45:11: >>94
>>92のような場合わけは厳密性を持って行えるんでしょうか？
99：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/10/28(土) 13:15:02: >>97
ちょｗｗｗｗ
100：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/10/29(日) 12:11:53: >>92
a_n=log n+��[k=1,n-1]log c_kより
log n/n≦a_n/n≦(log n+(n-1)log 6)/n
ですが。
101：にん猫：2006/10/29(日) 17:59:55: ？
102：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/10/30(月) 17:59:41: >>101
a_n/nは,サイコロの目が全部1だったら0に,
全部6だったらlog6に収束しますね。
そういうグラ賽ではなくって,1,2,3,4,5,6が等確率に出るサイコロ
を使うのだったら,
大数の法則によってa_n/nはlog(6!)^(1/6)に収束しますね。
103：にん猫：2006/10/31(火) 04:40:04: 微妙に話がかみ合ってないのは気のせいですかorz
104：Je n'ai pas de nom!：2006/11/12(日) 14:44:03: 2004個の電球があり、電気はすべてOFFになっています。
電球には1から2004までの番号がそれぞれ1つずつ振ってあります。次の操作を行うとき、最後に電気がONになっている電球は全部でいくつでしょうか？
105：にん猫：2006/11/12(日) 14:53:55: つづきまだー
106：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/11/12(日) 16:10:44: すみません。今日中に解答書きます。
107：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/11/13(月) 01:05:50: すいません。遅くなりました。

△ABCにおいてBC=a,∠B=2α,∠C=2β（α≦β）とおく。△ABCの内接円の半径はrである。
ここでα,βの関係を考えれば、BC=a=r/tanα+r/tanβ　tanα+tanβ=p, tanαtanβ=qと置けば
rp/q=a・・・① ここで∠A=π-2(α+β)より、0＜π-2(α+β)＜π⇔0＜α+β＜π/2⇔p/(1-q)＞0
①よりq(1-q)＞0⇔0＜q＜1・・・②　さらに2α＜α+β＜π/2よりα＜π/4ここで、
tanα,tanβは二次方程式t^2-pt+q=0の二解であるゆえ、この方程式が相異なる二つの
実数解を持つ条件を考えれば、p＞0 p^2-4q≧0⇔q≧4r^2/a（∵①）・・・③ここで、
qは②かつ③を満たすので、これらの条件を満たすqが存在するための条件はa＞2r
ここで△ABCが鈍角三角形であるための条件はπ/2＜∠A＜πまたはβ＞π/4⇔0＜tan(α+β)＜1または
tanα＜1＜tanβ　0＜q＜1より、q＜r/(r+a)またはq＞r/(a-r)・・・④
ここで△ABCの面積SはS=r^2p/q(1-q)=ra/(1-q)・・・⑤
a＞2rよりr/(a-r)＜1 r/(a-r)-4r^2/a=(a-2r)^2/a^2(a-r)＞0
4r^2/a^2＜r/(a+r)となるr,aの条件は、2(1+√2)r＜aである。
これより、2(1+√2)r＞aのときは∠Aは鈍角になることはない。以上より、
2r＜a＜2(1+√2)rのときS＞ra(a-r)/(a-2r)
a＞2(1+√2)rのときra^3/(a^2-4r^2)≦S＜r(r+a), ra(a-r)/(a-2r)＜S

上にも書きましたがtanの対称式に持っていけば以外とあっさりできます。
他の二問も同じようにやればできます。もしよかったらやってみてください。
108：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/11/13(月) 01:34:19: 作ったの俺じゃなくてすれ違いで申し訳ないですが問題を書きます。
自然数nに対して
a(0)=a(1)=1
a(n+1)=a(n)+a(n-1)を満たす数列a(n)を考える。このとき
S(n)をS(n)=��[k=0～n]{a(k)}^2と定義する。
��[k=0～∞](-1)^k/S(k)を求めよ。

解答のあまりの鮮やかさにびっくりしたので。
109：weapon ◆RRlBLdA0dk：2006/11/13(月) 04:51:10: ��[k=0～n]{a(k)}^2=a(n)*a(n+1)
a(n)*a(n+2)-{a(n+1)}^2=(-1)^n
��[k=0～n](-1)^k/S(k)=��[k=0～n]((a(k+2)/a(k+1))-(a(k+1)/a(k)))=2-((a(n+1)/a(n))
��[k=0～∞](-1)^k/S(k)=(3-√5)/2
110：にん猫：2006/11/13(月) 04:57:10: >>108
Σak^2=an・an+1？
111：weapon ◆RRlBLdA0dk：2006/11/13(月) 05:23:07: 訂正
��[k=0～n](-1)^k/S(k)=��[k=0～n]((a(k+2)/a(k+1))-(a(k+1)/a(k)))=(a(n+2)/a(n+1))-1
��[k=0～∞](-1)^k/S(k)=(√5-1)/2
112：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/11/13(月) 19:27:18: >>107
おおおお超GJ!!
なるほど、tanに持ち込んで丁寧に条件を言い換えていくかんじですね。
あっさり、ていうけどこれ完璧にやるのは相当な処理能力な気がする。
おみそれいたしました。
113：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/11/13(月) 19:49:46: >>111
正解です。
＞a(n)*a(n+2)-{a(n+1)}^2=(-1)^n
これ気付くのが特に難しいと思うんですがあっさりできちゃいましたかｗ
脱帽です。
>>112
tanを使うと面積が意外ときれいな式になりますね。これはおれ自身作ってて
驚きました。
114：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/11/13(月) 19:55:12: >>107の訂正です
③のところ正しくはq≧4r^2/a^2です。
115：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/11/17(金) 23:52:23: 問題でーす

一辺の長さが2の立方体の内部に存在する点Pとこの立方体のそれぞれの頂点を
結ぶ直線に垂直でそれぞれの頂点を通る平面を考える。
（１）これらの平面によって囲まれる立体は八面体であることを示せ。
（２）この八面体の体積の最小値を求めよ。
116：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/11/17(金) 23:54:22: >>32のほかの問題もよかったら。
117：にん猫：2006/11/18(土) 17:10:55: ある閉曲面上の任意の点と原点では
平面の方程式をf(x,y,z) とあらわすとして、８つの内少なくとも一つのfの符合が違う

ってのは八面体であることの必要十分条件？
118：Je n'ai pas de nom!：2006/11/18(土) 17:54:47: 愚直に考えたら、互いに平行でない３つの平面のが作る３つの交線と唯一の交点に対して、
４枚目の平面が、どの交線も含まずに唯一の交点を含めば、その４つの平面は八面体の
ある頂点を共有する４面を構成しうると思う。
けど、そんな条件を直交座標やベクトルで計算する気せん。ｗ
119：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/11/19(日) 19:51:57: 対象性つかったらそこまで計算はいらないと思います
120：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/12/25(月) 01:28:44: お久しぶりです。
joytoy氏と共著でこんなものできちゃいます田ｗ
joytoy氏に感謝感謝です
http://homepage2.nifty.com/enjoying_math/index.htm
121： ◆ZFABCDEYl.：2006/12/25(月) 06:21:14: 聖夜に風邪を引いて悪寒・頭痛状態の悲しい者です。

>>120
すごぃの一言じゃ・・。
ハイレベルのテキストという感じで素晴らしい(･∀･)の一言。
それに僕にとっていうおい氏の出題傾向はとても新鮮な印象を受けます。
僕にはいうおい氏の数学が何で育ったのかが掴めない・・。
チャート系，数檻系じゃないし，駿台系でもないし，受験板系，数学板系
でもないというか。

先生は大学で学ぶ本格的な数学系。
９氏は大数系と東大過去問系。
＆先生の素地はなんとなく乙会系。
台地氏は大数系。
ラメ氏は京大過去問系とますのり系。
1対1先生は大数系。
グリーン氏は進研ゼミのハイレベル系に数研の問題集系が加わったというイメージ。
僕はチャ系と駿台系と医大過去問系。古臭いというかバタ臭い系統というべきか。
ｎ厨氏は非常にバランスが良くて，数檻系，チャ系，乙会系，駿台系，関西系って感じ。
僕は河合・代ゼミに通ったことはないからどういう系統か分からないけど
いうおい氏は何となく予備校系統じゃない気もするんです。

同じハイレベルでも新種じゃないかって気がする。
あーく氏に似てるという気もする・・。甲陽系っていうんでしょうか。
122： ◆ZFABCDEYl.：2006/12/25(月) 06:33:41: いうおい氏って河合塾系・甲陽系かなぁ。何となく。

その人その人で育ててきた数学のルーツを探る学問でもつくろうかな。
もちろん日本国内限定で。(外国は全く分からないから・・)
大数系・チャ系・数檻系・乙会系・駿台系・河合系・代ゼミ系
などなど。名づけて「日本人の数学ルーツ学」。研究を重ねたら
イグノーベル賞がもらえるかもしれない。
123：green：2006/12/29(金) 05:17:44: >>121
よくみたら俺も入れてくれてるのね
　｡･ﾟ･(ﾉ∀`)･ﾟ･｡
124： ◆ZFABCDEYl.：2006/12/30(土) 01:54:37: >>120
恐ろしいほど解けなくなってる現実がありました。
何か普通に暮らしていると入試数学がとても異質な世界に感じる。
開いちゃいけないパンドラの箱の世界というか・・。(´Д｀;)
封印しておかねば!!という感覚に陥りました・・。数学の掲示板で
申してはいけないことですが，あくまで正直な感想で。

でも，現時点では数学と完全に無縁じゃない世界には生きているんですよ。
ペーハーではlogを使うし，物理の講義でもちょこっと微積が出たし。
グラフを書くときは最小二乗法という平均値のグラフを使ったし，片対数
両対数のグラフも書いたし・・。
125： ◆ZFABCDEYl.：2006/12/30(土) 02:01:57: >>123
green氏が主流でござんす。。
126：green：2006/12/30(土) 02:43:29: >>121
いうおい氏は黒大数（ハードカバーの「大学への数学」(研文書院))を使っていたと
書いてあったような気がする。知的トークスレだったかな。
127：green：2006/12/30(土) 02:46:30: 黒大数＝駿台系　ではないかな？
128：green：2006/12/30(土) 02:57:23: 俺も自分で問題を作れたら楽しいだろうなと人の作品をみるとよく思う。
てゆーかすごいよ、あなた達は。今の俺には公立中学数学レベルで数値を変えるくらいしかできん。
129：ソラ：2006/12/30(土) 13:45:24: はじめまして。今日初めて見たのですが、
数学がとても好きな人間のひとりなので、書き込ませていただきます。

今まで解いてきた某S台やいろいろな場所での問題の中で、面白いなあとか思うのがたくさんあるので、
また少しずつ書き込んでみます。
130：Je n'ai pas de nom!：2007/01/01(月) 01:32:56: http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1166904000/l50
131：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2007/01/01(月) 12:15:30: みどりのおじさんはロムだったのかｗ
その通りで黒大数がほとんど俺の全てといってもよいですね。
後は今まで受けた東大もしとか京大もしとか。
上の問題も今まで自分の解いてきた問題を一般化したり設定を複雑にして
やったのが多いですね。じょいとい氏にも傾向が偏ってるといわれました
もうちょい幅広く行きたいものです。アレは未完、、かな
132： ◆ZFABCDEYl.：2007/01/02(火) 19:47:01: あけましておめでと。

>>131
すごく良く練られた問題が多いでつね。
受験生の人はとても勉強になるんじゃないかなと。
でも現役離れた今，僕には解く気力が残ってぃなぃ。
133： ◆ZFABCDEYl.：2007/01/02(火) 19:52:03: >>129
ソラさんはじめまして！
どおかこの研究所を盛り上げていってくだされ。。

僕は数学に対する気力がゼロになっているのですが，
こればっかりはもう直せないみたいです。自然の摂理みたい。
ただこの研究所にカキコすると，なぜか数学の勉強をしたような
気になれるというか(´Д｀;)。結構，数学系の本は買ったんですけどネ・・。
134： ◆ZFABCDEYl.：2007/01/02(火) 20:40:18: いうお問で1番特徴的な分野は第3章と第5章だと思う。

(1)図形の問題について。
問題文に与えられた図形の設定条件から，適当な変数を自分で設定し，
その変数の満たすべき式(不等式)を過不足なく作る。次に，その式を
満たす変数(実数)が存在しうるかどうかを，実数の存在条件に帰着させる。

(2)確率の問題について。
確率は受験生が軽視しがちな範囲。実際，たいていの入試問題には
「これに気づいてネ」「過不足なく頑張ろうネ」という暖かい
まなざし(誘導)が根底にある。しかし，いうお問は逆。
何しろ，いうお問の確率の問題文からは凄まじい気迫とオーラ
が放たれているのだ。これがいうお問の最大の特徴だと思う。
135：にん猫：2007/01/02(火) 22:21:10: なんにせよ、自分で問題作れるのってすごいですねえ
自分は解く専門だorz
136：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2007/01/03(水) 11:43:02: 図形問題で変数設定とか誘導でつく場合も多いですがその設定の仕方は数学的センス
が問われるところだと思うのでそこは腕の見せ所ではないでしょうか。その分難易度も
大幅アップって所ですね
確率の場合も漸化式等を立てて解く問題が特にですがこの漸化式を立てるのを思いつけるか
どうかも数学的センスだと思います。
137：ソラ：2007/01/04(木) 20:38:44: そろそろセンター試験ですね。
少し燃料を投下します。

[001]

　以下の不等式 (イ)、(ロ) について、(イ) を満たすすべての実数 x が (ロ) を満たすための a,b が満たす
必要十分条件を求め、ab平面上に図示せよ。
　　　　　　(イ)　x^2+ax+b > 0
　　　　　　(ロ)　x^2+bx+a > 0

[002]

　n は 2 以上の自然数とする。

　(1) n-1 個の自然数 2,3,…,n の最小公倍数を L とし、
　　　　　　a[2]=L/2、a[3]=L/3、…、a[n]=L/n、
　　　とするとき、a[2]、a[3]、…、a[n]　のうち少なくとも 1 つは奇数であることを示せ。

　(2) 1+(1/2)+(1/3)+…+(1/n) は整数でないことを示せ。

[003]

　最初箱の中に、白球 (n-2) 個、赤球と黒球が各 1 個ずつ計 n 個が入っている。
この箱から次の規則に従って球を 1 個ずつ取り出す。

　(ア)　白球が出ると手元に置いて箱の中に戻さず、1個少なくなった箱の中から次の球を取り出す。

　(イ)　赤球が出ると手元にある白球も含めすべて箱の中に戻し、箱の中を最初の状態に戻す。

　(ウ)　黒球が出たところでこの操作を終了する。

黒球が出てこの操作が終了したとき、箱の外に置いてある白球の個数の期待値を求めよ。
138： ◆ZFABCDEYl.：2007/01/19(金) 03:00:34: ソラさんすごぃ・・

もうじきセンタ試験ですね。受験生の方頑張って下さい！！
僕の感想ではセンタ試験で一番気をつけて欲しい科目は地理です。
僕はセンタ試験の地理の勉強に２，３週間を費やして，
出そうなところを覚えたんですが，本番ではその知識が
全然役に立たないという恐ろしい科目でした。
今からじゃ遅いアドバイスだけど，地理はやめとけって感じです・・。
139：ソラ：2007/01/26(金) 20:55:11: >>138
その通り地理は難しかったみたいで。センターは日本史で受験でした…そのおかげで9割突破できたんで良かったです。(´∀｀)

これからはひたすら２次です。数学やりたいですけど…時間が…
140： ◆ZFABCDEYl.：2007/01/31(水) 23:55:24: >>139
お。日本史(･∀･)ｲｲ!
９割突破おめでとうございます！
ていうか，ソラさん受験生だったんですね・・。
２次試験も頑張って下さい！
141： ◆ZFABCDEYl.：2007/02/01(木) 00:40:09: 僕が日本史？の中で一番興味ある人物は
初代の酒井田柿右衛門。どういう人だったんだろう？

現代では柿右衛門は14代になっていて，デパートの外商の人が
良く宣伝していますよね・・。展示会とか。
確かに高価な壷だし，人間国宝のような先生が作ったものだし，
絵の部分も白い陶器の部分も美しいんだけど何だか緊張感が漂うんです。

僕は何ていうか値段云々でなく，ホッとする感じのお皿のほうが好きなんです。
いろいろな店を訪ねたり，図書館でいろいろなジャンルの陶磁器を見てるけど，
どうやら僕が好きなのは唐津・織部・信楽といったジャンルみたいです。
うちの父は柿右衛門が大好きなんだけど僕は逆（´Д｀;）。
142： ◆ZFABCDEYl.：2007/02/01(木) 00:44:46: でも一方で，和ガラスはとても好きなんです・・。
自分でも変に感じたけど，何か矛盾した好みですね(´Д｀;)。

でも見ていて和むものが(･∀･)ｲｲ!ですね。
143： ◆ZFABCDEYl.：2007/02/01(木) 01:04:25: める欄。X=2～9。

子供の頃から貯めてきたお年玉とか入学祝いなどで買ったもの
で，あとオネダリしたのも数個(；´Д｀)。
昔のカテキョ代と今のバイト代はプラモ関係で少し消費したけど
今は収集趣味を凍結してます。キリがないから・・。
それでそのまま何か急に無趣味化したみたいです。
数学を趣味にするかな。。|ω･´)
数学作問スレで雑談してしまってごめんなさい。
144：ソラ：2007/02/02(金) 11:43:09: >>140
実は…去年の高校生の時は数学しかしてなくて案の定落ちました(´д｀;)

酒井田柿右衛門！知ってます。
「地歴で受けるより、公民分野のほうがラクだよ」とさんざん言われたのですが、
日本史が好きだったので突き進んだところ大成功でした。

なんか僕も西洋の派手派手グラスは苦手なんですよね。。(・∀・)♪
今のとこ、数学は隠れ趣味の一つです(`・ω・´)

神大の問題に手を加えてみました。|***| は絶対値です(・∀・)。

[004]

　n を 2 以上の整数とする。1 から (2n+1) までの数字が 1 つずつ書かれた (2n+1) 枚のカードが袋に入れられている。
それを 1 枚引いて戻さない試行を n 回繰り返す。k (k=1,2,…,n) 回目に引いたカードに記載されている数を a[k] とおき、
整数 X[n] を
　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　X[n] = |a[1]-a[2]| + |a[2]-a[3]| + … + |a[k]-a[k+1]| + … + |a[n-1]-a[n]|

で定める。このとき、X[n] が偶数となる確率 p[n] を求めよ。
145： ◆ZFABCDEYl.：2007/02/03(土) 00:02:03: 001を対偶とそうでないときとで答が分裂する件＿|￣|○
004はX(n)が偶/奇で|a[n-1]-a[n]|が偶/奇の4通りで
わければよいのかな

数学がどんどんできなくなっている件
146：にん猫：2007/02/03(土) 16:34:28: a[1]が偶数のときa[n]の偶数
a[1]が奇数のときa[n]の奇数
じゃないですか?
147：Je n'ai pas de nom!：2007/05/28(月) 09:01:18: 二次正方行列 A = ([a11, a12],[a21, a22])に対して
f(A) = √((a11)^2+(a12)^2+(a21)^2+(a22)^2)　と定義する。
このとき次の命題を証明せよ。

二次正方行列A,Bに対して
(1)　f(AB)≦f(A)+f(B)
(2)　f(A+B)≦f(A)+f(B)
(3)　ある実数rが存在してf(A)≦r, f(B)≦rとなるならば、
　　任意の自然数nに対して　f(A^n-B^n)≦nr^(n-1)f(A-B)