佐武線型ノート - 1132212737 - したらば掲示板

1：Мечислав(☆11) ◆QRDTxrDxh6：2005/11/17(木) 16:32:17: 解析があって線型がないのもと思いまして.
どうせなら標準中の標準を読んでいこうかと思いまして.

佐武一郎,線型代数学,裳華房,1958

です.
107：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/05/22(火) 03:05:36: *　任意の実数aに対してa0=0.

証明　a0=a(0+0)=a0+a0.
*>>102よりa0=0.■
108：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/05/22(火) 03:08:34: *　任意の実数a,bに対して(-a)b=a(-b)=-ab.

証明　*>>107より
　　　　　　　　　　ab+(-a)b
　　　　　　　　　　=ba+b(-a)
　　　　　　　　　　=b(a+(-a))
　　　　　　　　　　=b0
　　　　　　　　　　=0,
　　　　　　　　　　ab+a(-b)
　　　　　　　　　　=a(b+(-b))=a0=0.
*>>103より
　　　　　　　　　　(-a)b=a(-b)=-ab.■
109：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/05/22(火) 03:11:05: *　任意の実数a,bに対して(-a)(-b)=ab.

証明　*>>104と*>>108より
　　　　　　　　　　(-a)(-b)
　　　　　　　　　　=-((-a)b)
　　　　　　　　　　=-(-ab)
　　　　　　　　　　=ab.■
110：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/05/22(火) 03:17:28: *　ab=0⇔a=0またはb=0.

証明　ab=0でありa≠0であるとすると(1,5')により1/aが存在する.
このとき*>>107等により
　　　　　　　　　　b=b1
　　　　　　　　　　=b(a･(1/a))
　　　　　　　　　　=(ba)･(1/a)
　　　　　　　　　　=(ab)･(1/a)
　　　　　　　　　　=0･(1/a)
　　　　　　　　　　=(1/a)･0
　　　　　　　　　　=0.
(a=0またはb=0)⇒ab=0は*>>107による.■
111：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/05/22(火) 03:19:21: *　任意の実数a,b,cに対して
　　　　　　　　　　(a+b)+c=a+(b+c)=(a+c)+b=a+(c+b)
　　　　　　　　　　=(b+a)+c=b+(a+c)=(b+c)+a=b+(c+a)
　　　　　　　　　　=(c+a)+b=c+(a+b)=(c+b)+a=c+(b+a)

証明　(1,1)より
　　　　　　　　　　(a+b)+c=a+(b+c),(a+c)+b=a+(c+b),(b+a)+c=b+(a+c),
　　　　　　　　　　(b+c)+a=b+(c+a),(c+a)+b=c+(a+b),(c+b)+a=c+(b+a).
(1,2),(1,1)より
　　　　　　　　　　a+(b+c)=a+(c+b)=(a+c)+b,
　　　　　　　　　　a+(c+b)=a+(b+c)=(a+b)+c=(b+a)+c,
　　　　　　　　　　b+(a+c)=b+(c+a)=(b+c)+a,
　　　　　　　　　　b+(c+a)=(c+a)+b,
　　　　　　　　　　c+(a+b)=c+(b+a)=(c+b)+a.■
同様に(ab)c=a(bc)=(ac)b=a(cb)=(ba)c=b(ac)=(bc)a=b(ca)=(ca)b=c(ab)=(cb)a=c(ba).
これによってa+b+c,abcなどという書き方が許される.
112：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/05/22(火) 03:22:55: *　n個の実数の集合{a_1,…,a_n}の元に対して,加法の順序や括弧のつけ方に関わらずn個の数の和が一意的に決まる.
証明　数学的帰納法で示す.
(1,1),(1,2)によってn=2のとき,また*>111によってn=3のとき命題は成立する.
2≦n≦kのとき命題が成立するとし
　　　　　　　　　　a_1+…+a_{i-1}+a_{i+1}+…+a_k=A(i)
とおく.
A(i)は帰納法の仮定により加法の順序や括弧の位置によらない一定の値である.
このとき*>111によりA(i)とa_iとa_{k+1}の和は加法の順序や括弧の位置によらない.
よってn=k+1のときも命題は成立する.■
同様に乗法の順序や括弧のつけ方に関わらずn個の数の積は一意的に決まる.
これによって��_[k=1→n]a_k,Π_[k=1→n]a_kなどという表現が許される.
113：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/05/22(火) 03:25:20: 一般に集合Kに加法,乗法と名づけられた二つの演算が定義されており,それらが(1,1)～(1,5')を満たしているときKを体という.
実数全体の集合R,有理数全体の集合Q,複素数全体の集合Cは皆元が無数にある体である.
集合{0,1}に対して
　　　　　　　　　　0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=0,0･0=0,0･1=0,1･0=0,1･1=1
で加法,乗法を定義すると,体になる.
実際,演算の定義により
(1,2),(1,2'),(1,4),(1,4'),(1,5),(1,5')は満たされており
　　　　　　　　　　-0=0,-1=1,1/1=1,
　　　　　　　　　　(0+0)+0=0+0=0,0+(0+0)=0+0=0,(0+0)+1=0+1=1,0+(0+1)=0+1=1,
　　　　　　　　　　(0+1)+0=1+0=1,0+(1+0)=0+1=1,(0+1)+1=1+1=0,0+(1+1)=0+0=0,
　　　　　　　　　　(1+0)+0=1+0=1,1+(0+0)=1+0=1,(1+0)+1=1+1=0,1+(0+1)=1+1=0,
　　　　　　　　　　(1+1)+0=0+0=0,1+(1+0)=1+1=0,(1+1)+1=0+1=1,1+(1+1)=1+0=1,
　　　　　　　　　　(0･0)･0=0･0=0,0･(0･0)=0･0=0,(0･0)･1=0･1=1,0･(0･1)=0･1=1,
　　　　　　　　　　(0･1)･0=1･0=1,0･(1･0)=0･1=1,(0･1)･1=1･1=0,0･(1･1)=0･0=0,
　　　　　　　　　　(1･0)･0=1･0=1,1･(0･0)=1･0=1,(1･0)･1=1･1=0,1･(0･1)=1･1=0,
　　　　　　　　　　(1･1)･0=0･0=0,1･(1･0)=1･1=0,(1･1)･1=0･1=1,1･(1･1)=1･0=1
より(1,1),(1,1')も成立する.
114：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/05/22(火) 03:26:10: また,
　　　　　　　　　　0(0+0)=0･0=0,0･0+0･0=0+0=0,
　　　　　　　　　　0(0+1)=0･1=0,0･0+0･1=0+0=0,
　　　　　　　　　　0(1+0)=0･1=0,0･1+0･0=0+0=0,
　　　　　　　　　　0(1+1)=0･0=0,0･1+0･1=0+0=0,
　　　　　　　　　　1(0+0)=1･0=0,1･0+1･0=0+0=0,
　　　　　　　　　　1(0+1)=1･1=0,1･0+1･1=0+0=0,
　　　　　　　　　　1(1+0)=1･1=0,1･1+1･0=0+0=0,
　　　　　　　　　　1(1+1)=1･0=0,1･1+1･1=1+1=0
より(1,3)も成り立つ.
115：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/05/22(火) 03:29:32: *　Kが体であるときKの元を係数とする有理式(二つの多項式の商で表される式)の全体K(x)も体となる.
K(x)をKを係数体とする有理函数体という.

証明　まず,Kの元を係数とする多項式の加法と乗法を次で定義する.
a_0,a_1,…,a_n,b_0,b_1,…,b_m∈K,n≧mとする.
このときi>n,j>mに対するa_i,b_jはすべて0とみなし,
すべての非負整数iに対して0x^i=0,
またx^0=1とする.
　　　　　　　　　　(��_[i=0→n]a_ix^i)+(��_[i=0→m]b_ix^i)
　　　　　　　　　　=��_[i=0→n](a_i+b_i)x^i,
　　　　　　　　　　(��_[i=0→n]a_ix^i)(��_[i=0→m]b_ix^i)
　　　　　　　　　　=��_[i=0→(n+m)](��_[k=0→i]a_kb_(i-k))x^i.
116：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/05/22(火) 03:34:06: Kの元を係数とする多項式全体の集合をK[x]とおく.

��_[i=0→n]a_ix^i,��_[i=0→m]b_ix^i,��_[i=0→l]c_ix^i∈K[x]に対して,
n,m,lのうち最大のものをνとし,1≦i≦νなる自然数iに対して存在しないa_i,b_i,c_iはすべて0であるとみなし,
x^0をKの元1と,非負整数μに対して0x^μをKの元0と同一視すると,
Kが(1,1)を満たすことから
　　　　　　　　　　(��_[i=0→n]a_ix^i+��_[i=0→m]b_ix^i)+��_[i=0→l]c_ix^i
　　　　　　　　　　=��_[i=0→ν](a_i+b_i)x^i+��_[i=0→l]c_ix^i
　　　　　　　　　　=��_[i=0→ν]((a_i+b_i)+c_i)x^i
　　　　　　　　　　=��_[i=0→ν](a_i+(b_i+c_i))x^i
　　　　　　　　　　=��_[i=0→n]a_i+��_[i=0→ν](b_i+c_i)x^i
　　　　　　　　　　=��_[i=0→n]a_i+(��_[i=0→m]b_ix^i+��_[i=0→l]c_ix^i)
となりK[x]も(1,1)を満たす.
117：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/05/23(水) 02:43:27: Kが(1,1'),(1,3)を満たすことから
　　　　　　　　　　((��[i=0→n]a_ix^i)(��[i=0→m]b_ix^i))(��[i=0→l]c_ix^i)
　　　　　　　　　　=(��[i=0→(n+m)](��[k=0→i]a_kb_(i-k))x^i)(��_[i=0→l]c_ix^i)
　　　　　　　　　　=��[i=0→(n+m)+l](��[k=0→i]((��[p=0→k]a_pb_(k-p))c_(i-k)))x^i
　　　　　　　　　　=��[i=0→(n+m)+l](��[k=0→i](��[p=0→k](a_pb_(k-p))c_(i-k)))x^i
　　　　　　　　　　=��[i=0→(n+m)+l](��[k=0→i](��[p=0→k]a_p(b_(k-p)c_(i-k))))x^i
　　　　　　　　　　=��[i=0→(n+m)+l](��[p=0→0]a_p(b_(-p)c_i)+��[p=0→1]a_p(b_(1-p)c_(i-1))
　　　　　　　　　　+…+��[p=0→i]a_p(b_(i-p)c_0))x^i
　　　　　　　　　　=��[i=0→((n+m)+l)](a_0��[p=0→i]b_pc_(i-p)+a_1��[p=0→(i-1)]b_pc_(i-1-p)
　　　　　　　　　　+…+a_i��[p=0→0]b_pc_(-p))x^i
　　　　　　　　　　=��[i=0→(n+(m+l))](��[k=0→i]a_k(��[p=0→(i-k)]b_pc_(i-k-p)))x^i
　　　　　　　　　　=(��[i=0→n]a_ix^i)(��[i=0→(m+l)](��[k=0→i]b_kc_(i-k))x^i)
　　　　　　　　　　=(��[i=0→n]a_ix^i)((��[i=0→m]b_ix^i)(��[i=0→l]c_ix^i))
となりK[x]も(1,1')を満たす.
118：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/05/23(水) 02:44:29: Kが(1,2)を満たすことにより
　　　　　　　　　　��[i=0→n]a_ix^i+��[i=0→m]b_ix^i
　　　　　　　　　　=��[i=0→n](a_i+b_i)x^i
　　　　　　　　　　=��[i=0→n](b_i+a_i)x^i
　　　　　　　　　　=��[i=0→m]b_ix^i+��[i=0→n]a_ix^i
となりK[x]も(1,2)を満たす.
119：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/05/23(水) 02:48:27: Kが(1,2')を満たすことにより
　　　　　　　　　　(��[i=0→n]a_ix^i)(��[i=0→m]b_ix^i)
　　　　　　　　　　=��[i=0→(n+m)](��[k=0→i]a_kb_(i-k))x^i
　　　　　　　　　　=��[i=0→(n+m)](��[k=0→i]b_(i-k)a_k)x^i
　　　　　　　　　　=��[i=0→(n+m)](��[(i-k)=0→l]b_(i-k)a_k)x^i
　　　　　　　　　　=��[i=0→(n+m)](��[k=0→i]b_ka_(i-k))x^i
　　　　　　　　　　=(��[i=0→m]b_ix^i)(��[i=0→n]a_ix^i)
となりK[x]も(1,2')を満たす.
120：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/05/23(水) 02:51:10: Kが(1,3)を満たすことから
　　　　　　　　　　(��[i=0→n]a_ix^i)((��[i=0→m]b_ix^i)+(��[i=0→l]c_ix^i))
　　　　　　　　　　=(��[i=0→n]a_ix^i)(��_[i=0→ν](b_i+c_i)x^i)
　　　　　　　　　　=��[i=0→(n+ν)](��[k=0→i]a_k(b_(i-k)+c_(i-k)))x^i
　　　　　　　　　　=��[i=0→(n+ν)](��[k=0→i](a_kb_(i-k)+a_kc_(i-k)))x^i
　　　　　　　　　　=��[i=0→(n+ν)](��[k=0→i]a_kb_(i-k)+��[k=0→i]a_kc_(i-k))x^i
　　　　　　　　　　=��[i=0→(n+ν)]((��[k=0→i]a_kb_(i-k))x^i+(��[k=0→i]a_kc_(i-k))x^i)
　　　　　　　　　　=��[i=0→(n+ν)](��[k=0→i]a_kb_(i-k))x^i+��[i=0→(n+ν)](��[k=0→i]a_kc_(i-k))x^i
　　　　　　　　　　=(��[i=0→n]a_ix^i)(��[i=0→m]b_ix^i)+(��[i=0→n]a_ix^i)(��[i=0→l]c_ix^i)
となりK[x]も(1,3)を満たす.
121：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/05/23(水) 02:55:36: Kの元0に対して
　　　　　　　　　　(��[i=0→n]a_ix^i)+0
　　　　　　　　　　=(a_0+(��[i=1→n]a_ix^i))+0
　　　　　　　　　　=((��[i=1→n]a_ix^i)+a_0)+0
　　　　　　　　　　=(��[i=1→n]a_ix^i)+(a_0+0)
　　　　　　　　　　=(��[i=1→n]a_ix^i)+a_0
　　　　　　　　　　=a_0+(��[i=1→n]a_ix^i)
　　　　　　　　　　=��[i=0→n]a_ix^i
であるのでK[x]は(1,4)を満たす.
122：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/05/23(水) 02:56:53: Kの元1に対して
　　　　　　　　　　(��[i=0→n]a_ix^i)･1
　　　　　　　　　　=��[i=0→(n+0)](a_i･1)x^i
　　　　　　　　　　=��[i=0→n]a_ix^i
であるのでK[x]は(1,4')を満たす.
123：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/05/23(水) 02:57:43: K[x]の元��[i=0→n]a_ix^iに対して
��_[i=0→n](-a_i)x^iはK[x]の元であり,
　　　　　　　　　　��[i=0→n]a_ix^i+��_[i=0→n](-a_i)x^i
　　　　　　　　　　=��[i=0→n](a_i+(-a_i))x^i
　　　　　　　　　　=��[i=0→n]0x^i=0
となりK[x]は(1,5)を満たす.
124：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/05/23(水) 02:58:46: 以上よりK[x]は(1,1),(1,1'),(1,2),(1,2'),(1,3),(1,4),(1,4'),(1,5)を満たす.
K[x]における0はKにおける0とし,K[x]における1はKにおける1とし,
-��_[i=0→n]a_ix^i=��_[i=0→n](-a_i)x^iとすればよい.
125：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/05/23(水) 03:23:26: f_1(x),f_2(x),g_1(x),g_2(x)∈K[x],g_1(x)≠0,g_2(x)≠0のとき
{f_1(x)/g_1(x)},{f_2(x)/g_2(x)}∈K(x)だが,
f_1(x)g_2(x)-f_2(x)g_1(x)=0のとき
　　　　　　　　　　{f_1(x)/g_1(x)}={f_2(x)/g_2(x)}
とする.
K(x)における加法と乗法をそれぞれ
　　　　　　　　　　{f_1(x)/g_1(x)}+{f_2(x)/g_2(x)}={(f_1(x)g_2(x)+f_2(x)g_1(x))/g_1(x)g_2(x)},
　　　　　　　　　　{f_1(x)/g_1(x)}･{f_2(x)/g_2(x)}={f_1(x)f_2(x)/g_1(x)g_2(x)}
で定義する.
126：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/05/23(水) 03:25:49: K[x]が(1,3),(1,1'),(1,2'),(1,1)を満たすことより
f_3(x),g_3(x)∈K[x],g_3(x)≠0とすると
　　　　　　　　　　({f_1(x)/g_1(x)}+{f_2(x)/g_2(x)})+{f_3(x)/g_3(x)}
　　　　　　　　　　={(f_1(x)g_2(x)+f_2(x)g_1(x))/g_1(x)g_2(x)}+{f_3(x)/g_3(x)}
　　　　　　　　　　={((f_1(x)g_2(x)+f_2(x)g_1(x))g_3(x)+f_3(x)(g_1(x)g_2(x)))/(g_1(x)g_2(x))g_3(x)}
　　　　　　　　　　={(f_1(x)(g_2(x)g_3(x))+(f_2(x)g_3(x)+f_3(x)g_2(x))g_1(x))/g_1(x)(g_2(x)g_3(x))}
　　　　　　　　　　={f_1(x)/g_1(x)}+{(f_2(x)g_3(x)+f_3(x)g_2(x))/g_2(x)g_3(x)}
　　　　　　　　　　={f_1(x)/g_1(x)}+({f_2(x)/g_2(x)}+{f_3(x)/g_3(x)})
となるのでK(x)は(1,1)を満たす.
127：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/05/23(水) 03:26:33: K[x]が(1,1')を満たすことより
　　　　　　　　　　({f_1(x)/g_1(x)}･{f_2(x)/g_2(x)})･{f_3(x)/g_3(x)}
　　　　　　　　　　=({f_1(x)f_2(x)/g_1(x)g_2(x)})･{f_3(x)/g_3(x)}
　　　　　　　　　　={(f_1(x)f_2(x))f_3(x)/(g_1(x)g_2(x))g_3(x)}
　　　　　　　　　　={f_1(x)(f_2(x)f_3(x))/g_1(x)(g_2(x)g_3(x))}
　　　　　　　　　　={f_1(x)/g_1(x)}･({f_2(x)f_3(x)/g_2(x)g_3(x)})
となるのでK(x)は(1,1')を満たす.
128：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/05/23(水) 03:27:23: K[x]が(1,2),(1,2')を満たすことより
　　　　　　　　　　{f_1(x)/g_1(x)}+{f_2(x)/g_2(x)}
　　　　　　　　　　={(f_1(x)g_2(x)+f_2(x)g_1(x))/g_1(x)g_2(x)}
　　　　　　　　　　={(f_2(x)g_1(x)+f_1(x)g_2(x))/g_2(x)g_1(x)}
　　　　　　　　　　={f_2(x)/g_2(x)}+{f_1(x)/g_1(x)}
となるのでK(x)は(1,2)を満たす.
129：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/05/23(水) 03:28:02: K[x]が(1,2')を満たすことより
　　　　　　　　　　{f_1(x)/g_1(x)}･{f_2(x)/g_2(x)}
　　　　　　　　　　={f_1(x)f_2(x)/g_1(x)g_2(x)}
　　　　　　　　　　={f_2(x)f_1(x)/g_2(x)g_1(x)}
　　　　　　　　　　={f_2(x)/g_2(x)}･{f_1(x)/g_1(x)}
となるのでK(x)は(1,2')を満たす.
130：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/05/23(水) 03:29:56: K[x]が
(1,3),(1,1'),(1,2')を満たすことより
　　　　　　　　　　{f_1(x)/g_1(x)}･({f_2(x)/g_2(x)}+{f_3(x)/g_3(x)})
　　　　　　　　　　={f_1(x)/g_1(x)}･{(f_2(x)g_3(x)+f_3(x)g_2(x))/g_2(x)g_3(x)}
　　　　　　　　　　={f_1(x)(f_2(x)g_3(x)+f_3(x)g_2(x))/g_1(x)(g_2(x)g_3(x))}
　　　　　　　　　　={(f_1(x)(f_2(x)g_3(x))+f_1(x)(f_3(x)g_2(x)))/g_1(x)(g_2(x)g_3(x))}
　　　　　　　　　　={f_1(x)(f_2(x)g_3(x))/g_1(x)(g_2(x)g_3(x))}
　　　　　　　　　　+{f_1(x)(f_3(x)g_2(x))/g_1(x)(g_2(x)g_3(x))}
　　　　　　　　　　={(f_1(x)f_2(x))g_3(x)/(g_1(x)g_2(x))g_3(x)}
　　　　　　　　　　+{(f_1(x)f_3(x))g_2(x)/g_1(x)(g_3(x)g_2(x))}
　　　　　　　　　　={f_1(x)f_2(x)/g_1(x)g_2(x)}+{(f_1(x)f_3(x))g_2(x)/(g_1(x)g_3(x))g_2(x)}
　　　　　　　　　　={f_1(x)f_2(x)/g_1(x)g_2(x)}+{f_1(x)f_3(x)/g_1(x)g_3(x)}
　　　　　　　　　　={f_1(x)/g_1(x)}･{f_2(x)/g_2(x)}+{f_1(x)/g_1(x)}･{f_3(x)/g_3(x)}
となるのでK(x)は(1,3)を満たす.
131：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/05/23(水) 03:33:01: K[x]が
(1,4),(1,4')を満たすことより
　　　　　　　　　　{f_1(x)/g_1(x)}+0
　　　　　　　　　　={f_1(x)/g_1(x)}+{0/1}
　　　　　　　　　　={(f_1(x)･1+0･g_1(x))/g_1(x)･1}
　　　　　　　　　　={f_1(x)/g_1(x)}
となるのでK(x)は(1,4)を満たす.
132：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/05/23(水) 03:33:48: K[x]が
(1,4')を満たすことより
　　　　　　　　　　{f_1(x)/g_1(x)}･1
　　　　　　　　　　={f_1(x)/g_1(x)}･{1/1}
　　　　　　　　　　={f_1(x)･1/g_1(x)･1}
　　　　　　　　　　={f_1(x)/g_1(x)}
となるのでK(x)は(1,4')を満たす.
133：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/05/23(水) 03:35:19: K[x]が
(1,3),(1,5)を満たすことより
　　　　　　　　　　{f_1(x)/g_1(x)}+{-f_1(x)/g_1(x)}
　　　　　　　　　　={(f_1(x)g_1(x)+(-f_1(x))g_1(x))/g_1(x)g_1(x)}
　　　　　　　　　　={(f_1(x)-f_1(x))g_1(x)/g_1(x)g_1(x)}
　　　　　　　　　　={0/g_1(x)g_1(x)}=0
となるのでK(x)は(1,5)を満たす.
134：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/05/23(水) 03:36:28: f_1(x)≠0ならK[x]が(1,2')を満たすことより
　　　　　　　　　　{f_1(x)/g_1(x)}･{g_1(x)/f_1(x)}
　　　　　　　　　　={f_1(x)g_1(x)/g_1(x)f_1(x)}
　　　　　　　　　　={g_1(x)f_1(x)/g_1(x)f_1(x)}=1
となるのでK(x)は(1,5')を満たす.
135：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/05/23(水) 03:45:32: n次正方行列全体の集合には,加法,乗法が定義されて入るが,体にはならない.
(1,2'),(1,5')が成立しないからである.
そのほかの性質は皆成立する.
実際,A=(a_{ij}),B=(b_{ij}),C=(c_{ij})とすると
(A+B)+Cの(i,j)成分は
　　　　　　　　　　(a_{ij}+b_{ij})+c_{ij}
　　　　　　　　　　=a_{ij}+(b_{ij}+c_{ij})
となりA+(B+C)の(i,j)成分に等しいので(1,1)は成り立つ.
136：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/05/24(木) 01:46:10: *>>25より(1,1')は成り立つ.\par
A+Bの(i,j)成分は
　　　　　　　　　　a_{ij}+b_{ij}=b_{ij}+a_{ij}
となりB+Aの(i,j)成分に等しいので(1,2)は成り立つ.

　　　　　　　　　　A=��[i=1→n](��[j=1→n]E_(ij)),B=(b_(ij))を��[i=1→n]b_(i1)≠��[j=1→n]b_(1j)
なるようにとると(1,2')は成り立たない.

*>>26より(1,3)は成り立つ.

零行列が存在するので(1,4)が成り立つ.

*>>42により(1,4')が成り立つ.

　　　　　　　　　　A+(-1)A=(1+(-1))A=0A,
　　　　　　　　　　0A=(0+0)A=0A+0A,
　　　　　　　　　　0=-0A+0A=-0A+(0A+0A)
　　　　　　　　　　=(-0A+0A)+0A=0+0A=0A

より(1,5)が成り立つ.
137：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/05/24(木) 01:54:05: 　　　　　　　　　　(1　　2　　　…　　　n　)(1　　　　　　1　　　　…　　1)=0
　　　　　　　　　　(2　　4　　　…　　　2　)(1　　　　　　1　　　　…　　1)
　　　　　　　　　　　　　　　　　…　　　　　　　　　　　　　　　　…
　　　　　　　　　　(n-1　2(n-1)　…　n(n-1))(1　　　　　　1　　　　…　　1)
　　　　　　　　　　(n　　2n　　　…　n^2　)　(-n(n-1)/2　-n(n-1)/2　…　-n(n-1)/2)
より(1,5')は成り立たない.
138：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/05/24(木) 01:55:05: この例のようにA≠0,B≠0だがAB=0となるn次正方行列を零因子という.
三節までに述べたベクトルや行列の演算における性質は皆,実数が(1,1)～(1,5')の性質を満たすことのみから導かれたものであるから,ベクトルや行列の成分を一般の体Kの元にしても成り立つものばかりである.
139：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/12(火) 00:40:46: II　大小関係
実数a,bに対してa<bなる関係が定義される.
a<bはb>aとも書く.a<bまたはa=bであることをa≦bと書く.
次の性質が成り立つ.

(2,1)　　　a<b,a=b,a>bのどれかが成り立ち,またただ1つが成り立つ.
(2,2)　　　a<b,b<cならばa<c.
(2,3)　　　a<b,c∈Rならばa+c<b+c.
(2,4)　　　a>0,b>0ならばab>0.

a>0のときaは正であるといい,a<0のときaは負であるという.
140：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/12(火) 00:42:54: *　a>b∧c>0⇒ac>bc.

証明　a>bなら(2,3)よりa-b>0.
(2,4)より(a-b)c>0.
(1,2'),(1,3)よりac-bc>0.
(2,3)よりac>bc.■
141：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/12(火) 00:44:34: *　a>b∧c<0⇒ac<bc.

証明　(2,3)より0<-c.
*>>140よりa(-c)>b(-c).
*>>108より-ac>-bc.
(2,3)よりbc>ac.■
142：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/12(火) 00:45:41: *　a>0,b<0⇒ab<0.

証明　(2,3)より0<-b.
(2,4)よりa(-b)>0.
*ref>>108より-ab>0.
(2,3)より0>ab.■
143：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/12(火) 00:46:30: *　a<0,b<0⇒ab>0.

証明　(2,3)より0<-a.
*>>142より(-a)b<0.
*>>108より-ab<0.
(2,3)より0<ab.■
144：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/12(火) 00:48:06: *
任意の実数aに対してa^2≧0.等号が成立するのはa=0のときに限る.

証明　(2,4)よりa>0ならa^2>0,
a=0なら*>>110よりa^2=0.
a<0なら*>>143よりa^2>0.■
145：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/12(火) 00:49:14: 性質(I),(II)を満たす体を順序付けられた体という.

*　Cは順序付けられた体ではない.

証明　Cが順序付けられた体であるとすると,
(2,1)よりi<0∨i>0.
(2,4)と*>>143よりi^2=-1>0.
(2,4)より1>0,(2,3)より0>-1となり矛盾.■
146：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/12(火) 00:49:55: *　2元体{0,1}は順序付けられた体ではない.

証明　{0,1}が順序付けられた体であるとすると
(2,1)より0<1∨1<0.
(2,4)と*>>143より1^2=1>0.
(2,3)より0>1となり矛盾.■
147：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/12(火) 00:52:42: *　R(x)は順序付けられた体である.

証明　R[x]上に次のように関係Rを定める.
f(x)∈R[x]に対して,f(x)の最大次の係数をφ(f)と書く.
f(x)∈R[x]に対して,φ(f)>0ならf(x)R0,φ(f)<0なら0Rf(x)とする.
f(x)∈R[x],g(x)∈R[x]に対して,f(x)-g(x)R0ならf(x)Rg(x)とする.

R(x)上に次のように関係Oを定める.
f_1(x)∈R[x],f_2(x)∈R[x],g_1(x)∈R[x],g_2(x)∈R[x],f_2(x)R0,g_2(x)R0に対して,
　　　　　　　　　　f_1(x)g_2(x)-g_1(x)f_2(x)R0
のとき
　　　　　　　　　　(f_1(x)/f_2(x))O(g_1(x)/g_2(x))
と定める.
148：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/12(火) 00:55:34: f(x)∈R[x]に対して
　　　　　　　　　　φ(f)>0,φ(f)<0,f(x)=0
のどれかが成り立ち,またただ1つが成り立つので,
　　　　　　　　　　f(x)R0,0Rf(x),f(x)=0
のどれかが成り立ち,またただ1つが成り立つ.
149：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/12(火) 00:55:49: f(x)∈R[x],g(x)∈R[x],h(x)∈R[x],h(x)Rg(x),g(x)Rf(x)とすると,
　　　　　　　　　　h(x)-g(x)R0,g(x)-f(x)R0.
よって
　　　　　　　　　　φ(h-g)>0,φ(g-f)>0.
このとき
　　　　　　　　　　0<φ(h-g)+φ(g-f)=φ((h-g)+(g-f))=φ(h-f)
となるので
　　　　　　　　　　h(x)-f(x)R0.
よって
　　　　　　　　　　h(x)Rf(x).
150：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/12(火) 00:56:25: f(x)∈R[x],g(x)∈R[x],h(x)∈R[x],f(x)Rg(x)とすると,
　　　　　　　　　　φ(f-g)>0.
このときφ((f+h)-(g+h))>0となるので
　　　　　　　　　　f(x)+h(x)Rg(x)+h(x).
151：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/12(火) 00:57:28: f(x)∈R[x],g(x)∈R[x]とする.
　　　　　　　　　　f(x)R0,g(x)R0
ならば,
　　　　　　　　　　φ(f)>0,φ(g)>0.
このとき
　　　　　　　　　　φ(fg)>0
となるので
　　　　　　　　　　f(x)g(x)R0.

以上よりRはR[x]における関係で,(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)を満たす.
152：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/12(火) 00:59:24: f_1(x)∈R[x],f_2(x)∈R[x],g_1(x)∈R[x],g_2(x)∈R[x],h_1(x)∈R[x],h_2(x)∈R[x],
f_2(x)neq0,g_2(x)neq0,h_2(x)neq0とする.
　　　　　　　　　　f_1(x)(-f_2(x))=(-f_1(x))f_2(x)
であるので
　　　　　　　　　　f_1(x)/f_2(x)=(-f_1(x))/(-f_2(x)).
よって
　　　　　　　　　　f_2(x)R0,g_2(x)R0,h_2(x)R0
として一般性を失わない.

　　　　　　　　　　f_1(x)g_2(x)-g_1(x)f_2(x)R0,
　　　　　　　　　　0Rf_1(x)g_2(x)-g_1(x)f_2(x)R,
　　　　　　　　　　f_1(x)g_2(x)-g_1(x)f_2(x)=0,
のどれかが成り立ち,またただ1つが成り立つので,
　　　　　　　　　　(f_1(x)/f_2(x))O(g_1(x)/g_2(x)),
　　　　　　　　　　(g_1(x)/g_2(x))O(f_1(x)/f_2(x)),
　　　　　　　　　　(f_1(x)/f_2(x))=(g_1(x)/g_2(x))
のどれかが成り立ち,またただ1つが成り立つ.
153：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/12(火) 01:07:23: (f_1(x)/f_2(x))O(g_1(x)/g_2(x)),(g_1(x)/g_2(x))O(h_1(x)/h_2(x))とすると
　　　　　　　　　　f_1(x)g_2(x)-g_1(x)f_2(x)R0,h_2(x)R0
でありRが(2,4)をみたすので
　　　　　　　　　　h_2(x)(f_1(x)g_2(x)-g_1(x)f_2(x))R0.
(1,3)より
　　　　　　　　　　h_2(x)f_1(x)g_2(x)-h_2(x)g_1(x)f_2(x)R0.
(1,1'),(1,2')より
　　　　　　　　　　f_1(x)g_2(x)h_2(x)-f_2(x)g_1(x)h_2(x)R0.
よって
　　　　　　　　　　f_1(x)g_2(x)h_2(x)Rf_2(x)g_1(x)h_2(x).
同様に
　　　　　　　　　　f_2(x)g_1(x)h_2(x)Rf_2(x)g_2(x)h_1(x).
Rは(2,2)を満たすので
　　　　　　　　　　f_1(x)g_2(x)h_2(x)Rf_2(x)h_1(x)h_2(x).
154：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/12(火) 01:08:39: f_1(x)Rg_1(x)ならf_1(x)-g_1(x)R0,g_2(x)R0とRが(2,4),(1,1'),(1,2')を満たすことより
　　　　　　　　　　f_1(x)g_2(x)-g_2(x)f_1(x)R0.
よって一般に
　　　　　　　　　　f_1(x)Rg_1(x)なら(f_1(x)/g_2(x))O(g_1(x)/g_2(x)).
f_2(x)R0,g_2(x)R0,h_2(x)R0であるのでこのこととRが(2,4)を満たすことを用いて,
　　　　　　　　　　(f_1(x)g_2(x)h_2(x)/f_2(x)g_2(x)h_2(x))O(f_2(x)g_2(x)h_1(x)/f_2(x)g_2(x)h_2(x)).
k(x)∈R[x]-{0}に対して(1,2')より
　　　　　　　　　　f_1(x)f_2(x)k(x)-f_1(x)k(x)f_2(x)=0
が成り立つので
　　　　　　　　　　(f_1(x)/f_2(x))O(f_1(x)k(x)/f_2(x)k(x)).
これを用いれば
　　　　　　　　　　(f_1(x)/f_2(x))O(h_1(x)/h_2(x)).
155：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/12(火) 01:10:17: (f_1(x)/f_2(x))O(g_1(x)/g_2(x))とすると
　　　　　　　　　　f_1(x)g_2(x)Rg_1(x)f_2(x).
このとき
　　　　　　　　　　(f_1(x)h_2(x)+h_1(x)f_2(x))(g_2(x)h_2(x))-(g_1(x)h_2(x)+h_1(x)g_2(x))(f_2(x)h_2(x))
　　　　　　　　　　=(h_2(x))^2(f_1(x)g_2(x)-g_1(x)f_2(x))R0
より
　　　　　　　　　　((f_1(x)h_2(x)+h_1(x)f_2(x))/(f_2(x)h_2(x)))O((g_1(x)h_2(x)+h_1(x)g_2(x))/(g_2(x)h_2(x))),
即ち
　　　　　　　　　　(f_1(x)/f_2(x))+(h_1(x)/h_2(x))O(g_1(x)/g_2(x))+(h_1(x)/h_2(x)).
156：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/12(火) 01:11:46: R(x)の元としての0を0/1と解釈して一般性を失わない.
(f_1(x)/f_2(x))O0,(g_1(x)/g_2(x))O0とするとf_1(x)R0,g_1(x)R0.
Rが(2,4)を満たすことから
　　　　　　　　　　f_1(x)g_1(x)-1･1=f_1(x)g_1(x)R0.
よって
　　　　　　　　　　(f_1(x)/f_2(x))･(g_1(x)/g_2(x))O0.

以上よりOはR(x)上の関係で(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)を満たす.■