佐武線型ノート

154：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/12(火) 01:08:39: f_1(x)Rg_1(x)ならf_1(x)-g_1(x)R0,g_2(x)R0とRが(2,4),(1,1'),(1,2')を満たすことより
　　　　　　　　　　f_1(x)g_2(x)-g_2(x)f_1(x)R0.
よって一般に
　　　　　　　　　　f_1(x)Rg_1(x)なら(f_1(x)/g_2(x))O(g_1(x)/g_2(x)).
f_2(x)R0,g_2(x)R0,h_2(x)R0であるのでこのこととRが(2,4)を満たすことを用いて,
　　　　　　　　　　(f_1(x)g_2(x)h_2(x)/f_2(x)g_2(x)h_2(x))O(f_2(x)g_2(x)h_1(x)/f_2(x)g_2(x)h_2(x)).
k(x)∈R[x]-{0}に対して(1,2')より
　　　　　　　　　　f_1(x)f_2(x)k(x)-f_1(x)k(x)f_2(x)=0
が成り立つので
　　　　　　　　　　(f_1(x)/f_2(x))O(f_1(x)k(x)/f_2(x)k(x)).
これを用いれば
　　　　　　　　　　(f_1(x)/f_2(x))O(h_1(x)/h_2(x)).
155：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/12(火) 01:10:17: (f_1(x)/f_2(x))O(g_1(x)/g_2(x))とすると
　　　　　　　　　　f_1(x)g_2(x)Rg_1(x)f_2(x).
このとき
　　　　　　　　　　(f_1(x)h_2(x)+h_1(x)f_2(x))(g_2(x)h_2(x))-(g_1(x)h_2(x)+h_1(x)g_2(x))(f_2(x)h_2(x))
　　　　　　　　　　=(h_2(x))^2(f_1(x)g_2(x)-g_1(x)f_2(x))R0
より
　　　　　　　　　　((f_1(x)h_2(x)+h_1(x)f_2(x))/(f_2(x)h_2(x)))O((g_1(x)h_2(x)+h_1(x)g_2(x))/(g_2(x)h_2(x))),
即ち
　　　　　　　　　　(f_1(x)/f_2(x))+(h_1(x)/h_2(x))O(g_1(x)/g_2(x))+(h_1(x)/h_2(x)).
156：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/12(火) 01:11:46: R(x)の元としての0を0/1と解釈して一般性を失わない.
(f_1(x)/f_2(x))O0,(g_1(x)/g_2(x))O0とするとf_1(x)R0,g_1(x)R0.
Rが(2,4)を満たすことから
　　　　　　　　　　f_1(x)g_1(x)-1･1=f_1(x)g_1(x)R0.
よって
　　　　　　　　　　(f_1(x)/f_2(x))･(g_1(x)/g_2(x))O0.

以上よりOはR(x)上の関係で(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)を満たす.■

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