俺に数学を教えてください - 1110674207

413：green：2006/09/30(土) 23:19:37: 「東大」「才能」「数学」スレより質問でつ

587 名前：大学への名無しさん：03/08/22 23:50 ID:7JUWA3ZN
問題投下しまつ。

3以上の素数を小さい順に並べた数列
　3, 5, 7, 11, …
を考える。この数列の任意の隣り合った2項の和は
少なくとも3つの素因数をもつことを示せ。
(2^2*3,5^3なども3つの素因数をもつ)

593 名前：９：03/08/23 00:03 ID:p/Yaz8J7
>>587
よっしゃｷﾀ─wwﾍ√ﾚvv~(ﾟ∀ﾟ)─wwﾍ√ﾚvv~─ ！！！

3以上の素数はすべて奇数だから、隣り合った二つの素数を
2m+1、2(m+n)+1とおくことができる。（m、nは自然数）
このとき、2(m+1)+1、2(m+2)+1、…、2(m+n-1)+1はすべて非素数である。…(a)
さてこの2数の和S=(2m+1)+{2(m+n)+1}=2(2m+n+1)=2*{2(m+n/2)+1}

(i) nが偶数のとき、つまり自然数n'を使ってn=2n'と書けるとき
S=2{2(m+n')+1}。ここで1≦n'≦n-1だから(a)より2(m+n'+1)は最低でも2つの素因数を持つ。
以上より、Sは最低でも3つの素因数を持つ。

(ii) nが奇数のとき、つまり自然数n'を使ってn=2n'-1と書けるとき
S=2*2*(m+n')よりSは最低でも3つの素因数を持つ。

(i)(ii)より、題意は満たされる！！！
414：green：2006/09/30(土) 23:21:33: 質問
＞(i) nが偶数のとき、つまり自然数n'を使ってn=2n'と書けるとき
＞S=2{2(m+n')+1}。ここで1≦n'≦n-1だから

で、1≦n'≦n-1　はどこから出てくるんですか？
誰か教えてください
415：Мечислав(☆11) ◆QRDTxrDxh6：2006/10/01(日) 00:12:02: >>414
n'はもともとn/2だったんだからnよりは小さいですね。
416：green：2006/10/01(日) 01:18:52: >>415
n'=n/2 < n で、n'とn は自然数なので
n'　　 ≦ n-1 　でよろしいでしょうか？

あ、あとメール返信しておきました。
417：green：2006/10/01(日) 01:28:59: n=2n'…★　但しn,n' は自然数において
1≦n'≦n-1　を示す。

n’≧1　より n=2n'≧2
　2≦ｎ
⇔n≦2n-2
⇔2n'≦2n-2　（∵★）
⇔n'≦n-1 （←両辺を2で割った）

これでもよいのかな？
418：green：2006/11/15(水) 05:01:51: >>125　に関連することなのですが、
大学受験において
＞ｆ(x)が三次関数のときは極大値が極小値より大きい
ことは証明なしで使ってもよいものなのでしょうか？
419：green：2006/11/15(水) 05:07:42: なんでそう思ったかというと、京大の過去問題集に以下のような解答が書いてあったからです。
「ｆ(x)　はｘの３次式で、ｆ(x)　をその導関数ｆ'(x) で割ったときの余りは定数である。
このとき方程式　ｆ(x) ＝ 0　をみたす実数　ｘ　はただ一つであることを示せ。」
[1989年度京大理系前期日程の３番]
背理法によって示す。
ｆ(x)　をｆ'(x) で割ったときの商をｇ（ｘ）、余りをR（定数）とすると
ｆ(x)＝ｆ'(x) ｇ（ｘ）　+　R　…………ア
ここで、ｆ'(x) ＝0　が異なる二つの実数解α、β（α＜β）をもつとすると、
ｆ（ｘ）は、ｘ＝α、ｘ＝β　で極値をもち、（極小値）＜（極大値）　である。
ところがアより、
ｆ(α)＝ｆ'(α) ｇ（α）　+　R　＝　R
ｆ(β)＝ｆ'(β) ｇ（β）　+　R　＝　R
すなわち、ｆ(α)＝ｆ(β)　となり、矛盾。
よって、ｆ'(x) ＝0　は重解または虚数解をもつ。
したがって、つねにｆ'(x) ≧0　または　ｆ'(x) ≦0　（等号が成り立つｘの値は高々1個）である。
これより、ｆ(x) は単調に増加または減少する。また、
（x^3の係数）＜0の時、lim_[x→∞]f(x)＝－∞　、lim_[x→-∞]f(x)＝∞
（x^3の係数）＞0の時、lim_[x→∞]f(x)＝　∞　、lim_[x→-∞]f(x)＝－∞
であり、f(x)　は連続関数であるから、中間値の定理より、ｆ(x) ＝ 0　をみたす実数　ｘ　はただ一つ存在する。（証終）