ハイラー/ワナーを読む

80：Мечислав(☆9) </b><font color=#FF0000>（DTxrDxh6）</font><b>：2005/02/21(月) 23:26:03: １.３.２面積の計算
アルキメデス(B.C.283-B.C.212)は円の面積や放物線(と直線で囲まれた部分)の面積を
計算しました.そんな昔から面積や体積を計算することは,数学者の興味を引いてきたようです.
17世紀には,必ずしも整数とは限らないaに対して,y=x^aとy=0とx=0とx=Bで囲まれた部分の面積
も計算されました.(ボナヴェントゥラ･カヴァリエーリ,ロベルヴァル,フェルマ).

a>-1とします.θを0<θ<1をみたす定数とし,初項B,公比θの等比数列{Bθ^(n-1)}を考えます.
この図形の面積は,各nについて,4直線x=Bθ^(n-1),x=Bθ^n,x=0,x=B^aθ^(a(n-1))
で囲まれた長方形たちの面積の総和
ΣBθ^(n-1)(1-θ)･B^aθ^(a(n-1))=B^(a+1)(1-θ)Σθ^((a+1)(n-1))=B^(a+1)(1-θ)/(1-θ^(a+1))
で上(か下)から,4直線x=Bθ^(n-1),x=Bθ^n,x=0,x=B^aθ^(an)
で囲まれた長方形たちの面積の総和
ΣBθ^(n-1)(1-θ)･B^aθ^(an)=B^(a+1)θ^a(1-θ)/(1-θ^(a+1))
で下(か上)から近似出来ます.
ここでθ^(a+1)=(1-(1-θ))^(a+1)であるので一般二項定理(>>59)によると
θ^(a+1)≒1-(a+1)(1-θ)なので
B^(a+1)(1-θ)/(1-θ^(a+1))≒B^(a+1)/(a+1),B^(a+1)θ^a(1-θ)/(1-θ^(a+1))≒B^(a+1)θ^a/(a+1).
よってθが1に近いならば両者ともB^(a+1)/(a+1)に近づきます.
以上のことより次の定理が成り立ちます.

定理(3.2)(フェルマ1636)　a>-1なるaに対して,y=x^aとy=0とx=0とx=Bで囲まれた部分の面積は,
B^(a+1)/(a+1).

１.３.２.読了

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