【処理能力】受験生のための夏休み練習帳【専門】 - 1090255556

1：臺地 （qpPuO9q2）：2004/07/20(火) 01:45: 見ての通り、処理能力を集中して鍛えるためのスレッドです。
投下の要領は本スレと全く同じですが、こちらでは発想力よりむしろ処理能力重視の
問題を演習するということで。先生方からの投下が主となると思いますが、
東大の過去問等を自己投下することも考え中です。
97：臺地 （qpPuO9q2）：2004/08/30(月) 01:41: ＞第六問
最初分離してやってたので「はぁ？こんなん解けるわけねｰよｗ」と(ゴメン)
単に俺がヴァカだっただけでしたね。置き換えの威力を確認。
したはずだったのに第七問で上手く置き換えできず・・・。身についてないかも

＞第八、九問
第二問と同じ発想でおしまいだから、もうちょっと他の味付けがあってもいいかも、と思いますた

＞第十問
(2)の問題文それだけだと意図を測りかねる面があるような気がします＞俺みたいな鈍い人
tを与えて、2次式に分解せよ、とあれば・・・。
98：こけこっこ：2004/08/30(月) 02:22: >>97
なるほど。。参考になりますた。数列と整数がまだだったから，
大昔の自作を・・。例によって余裕のあるときなどに。

問十一

複素数の数列{z(n)}を次のように定める．
ただし，αは0でない複素数の定数とする．

z(1)=1，z(2)=α
{z(n)}/{z(n-1)}=(α^2)*〔{z(n-2)}~/{z(n-1)}~〕(n≧3)

(1) |z(n)| をn，|α| を用いて表わせ．

(2) z(n) をn，|α|，α を用いて表わせ．

問十二

m，nは共に自然数であり，A={8^(n+1)}+7n+m とする．
Aが49で割り切れるためのm，nに関する必要十分条件は
m=[ア]p-[イ]，n=[ウ]p+[エ]q-[オ] (p，qは任意の自然数)
とおけることである．[ア]～[オ]に数字を埋めよ．

おやすみなさい。
99：臺地 （qpPuO9q2）：2004/08/30(月) 02:32: >>98
俺のではあんまり参考にならんかもしれないから、他の人の意見もあればいいのだけれど。。
でも何か感じたことあれば書いてみます。

実は11匁は過去ログにあった奴で解いてしまった・・・。ていうかそれ阪大02では？
100：こけこっこ：2004/08/30(月) 11:06: >>99
１１匁の元ネタはそれです(￣ー￣)。さすが。
でもこの問題は場合わけが不要なように直してあるので，元の阪大の問題より
かは若干楽な仕様になっております。というわけで解く必要なしでつね。ごめんなさい。
１２匁はよくあるパターソ問題なので、元ネタはと聞かれるとちょっとつらひですね。。
101：こけこっこ＠復習：2004/08/30(月) 11:27: [問1(>>2)から学べること]
・立式自体は簡単なので，三角関数の定積分の計算力が重要。
特に半角の公式はしっかり覚えておこうといったところ？

[問2(>>6)から学べること]
・機械作業を速くしていけばよいといった感じ。
つまらない問題なので，欠伸しないように努力する。

[問3(>>6)から学べること]
・複素数の和をベクトル和として捉える練習。
今の旧課程がはじまったころ，ちょっと流行った問題だと塾で聞いたことあり。
今は廃れきってるけど・・。

[問4(>>10)から学べること]
・式の複雑さに負けない気力。あと，各種の微分の公式を正確に覚えている
ことが重要。

[問5(>>48)から学べること]
・実数条件と2次関数の復習といった感じで作成。
あと，√が入ったごちゃごちゃした数字は割り算してから代入するといった
工夫も大事。(三次関数の極値を求めるときにたまに使う計算方法)
良く知られたネタを組み合わせ感じの問題。

[問6(>>48)から学べること]
・接点を(p，q)とすれば，b，p，qはaの関数として書けるから，
これらを合成関数として捉えればよいという問題。たまにこういうタイプの
問題を見かけるけど，これもそういった感じで適当に作りますた。
e^x系(logx系)とax^n+b(n=1，2・・・)が接するというパターンは頻出。
102：こけこっこ@：2004/08/30(月) 11:27: [問7(>>78)から学べること]
・文字を置き換える工夫が大事な問題。ただ答は予想できるので，最悪
こじつけるように計算する方法も可能かと・・。

[問8(>>79)から学べること]
・tanの加法定理と複素数の和=ベクトル和と捉える練習。味気ない問題。

[問9(>>79)から学べること]
・周期８の数列と複素数の和=ベクトル和と捉える練習。味気ない問題。

[問10(>>84)から学べること]
フェラリの公式が元ネタ。(x^2+t)^2の形に変形する際，tが満たす3次方程式が
f(x)=0 となっていることに気づけばすんなりと。g(x)のx^3の項がないので
フェラリだと気づけるようにしました。。フェラリはたまに入試で出ている印象が。
103：こけこっこ@なぜ名前が消える？：2004/08/30(月) 11:33: [問11(>>98)から学べること]
掛け算していって次々に消えていくパターンの数列。やや頻出系といった感じかも。。
ただ，この計算が複素数平面において図形的に意味があるかどうかは分からなかったです＿|￣|○
そのため，類似した問題しか作れませんでした・・。
104：名無し研究員さん：2004/08/31(火) 07:18: こけさん勉強家だね
105：臺地 （qpPuO9q2）：2004/08/31(火) 11:24: >>98　第十二問
答が一意に定まらなかったのですが・・・。
8＾(n+1)=(1+7)＾(n+1)=1+7(n+1)+��[k=2,n+1]7^k*C(n+1,k)より、
mod49でA≡14n+m+8≡0。m≡-1(mod7)が必要。
m=14p-1のとき左辺=7(2n+2p+1)≡0(mod49)⇔2(n+p)≡-1≡6(mod7)⇔n≡3-ｐ
m=14p-8のとき左辺=14(n+p)≡0(mod49)⇔n+p≡0(mod7)⇔n≡-ｐ
よって、
m=14p-1∧n=7q-p+3またはm=14p-8∧n=7q-p。
106：臺地 （qpPuO9q2）：2004/08/31(火) 11:29: >>100
＞よくあるパターソ問題
まじ！？結構苦戦した・・。

>>101
＞e^x系(logx系)とax^n+b(n=1，2・・・)が接するというパターンは頻出。
肝に銘じておきます。。

>>102
＞複素数の和=ベクトル和と捉える
あ、そういう問題だったの？すると結構誘導を無視した形だったかな

>>103
俺もよく分からん

>>104
当然。
107：臺地 （qpPuO9q2）：2004/08/31(火) 11:52: あとお節介になって申し訳ないけれど、こけさんのHPにある&氏の模試、試験時間120分
とあるけど、これは150分のはずでは・・・？
108：こけこっこ：2004/08/31(火) 12:13: >>106
整数不定方程式ってよく出題されますよね。。これは1個文字が多いVerでつ。

8^(n+1)=(1+7)^(n+1)=1^(n+1)+{(n+1)C1}*7+(7^2)X=1+7(n+1)+49X　(Xは自然数)
とおけることから，(∵二項定理)
A=1+7(n+1)+49X+7n+m=49X+(14n+8+m)

したがって，14n+8+m≡0 (mod49) となればよいので，kを自然数として，
14n+8+m=49k とおければよい。あとはこのn，m，kに関する不定方程式を計算する。

で，(m，n)=(7p-1，3p+7q-4) (p，qは任意の自然数)になると思うんですが・・。
109：こけこっこ：2004/08/31(火) 12:17: 14n+8+m=49k ⇔7(2n-7k)=-(8+m) と変形できるから，
　　8+m=7u，2n-7k=-u ⇔ m=7u-8，2n-7k=-u　(u=2，3，・・)とおける。(∵m≧1)
　　次に，2n-7k=-u を満たす(n，k)について考える。
　　2n-7k=-u・・・ア
　　2*(3u)-7*u=-u・・・イ
　　ア-イより，2(n-3u)=7(k-u)
　　2と7は互いに素だから，n-3u=7v，k-u=2v (vは整数) ⇔ n=3u+7v，k=u+2v (u≧2，v≧0) (∵n≧1，k≧1)
　　とおける。
　　したがって，m=7u-8，n=3u+7v (u，vはu≧2，v≧0である整数)とおける。
　　u-1=p，v+1=q (p≧1，q≧1)と置き換えると，
　　m=7p-1，n=3p+7q-4 (p，qは任意の自然数)　となる。

　　ゆえに，求める必要十分条件は，
　　『自然数m，nが，(m，n)=(7p-1，3p+7q-4) (p，qは任意の自然数) とおけること。』・・・答

ちょっと当時の記事をこぴぺしただけですが・・。

>>107
Σ(ﾟДﾟ)・・・あとで直しておきますね。。どうも９０分という試験時間が
標準に感じていたので・・。
110：こけこっこ：2004/08/31(火) 12:22: 2文字の不定方程式はしょっちゅう出題されるけど，
3文字のってちょっと少ない気しません？
そんなわけで二項定理と絡めて適当に自作した問題でつ。
でも3文字Verが完全にないわけではなくて，どこかで解いた記憶があります。
定期試験だったか宿題だったか神剣ぜみだったかは忘れたけど，あったことは確かです。
111：臺地 （qpPuO9q2）：2004/08/31(火) 13:11: >>108-110
不定方程式か！！なるほど、完全に盲点でした。
俺の答だと、nが負の数になる可能性があったりしてどこかおかしいですね。
やっぱこけさんすげーわ。いい問題だなぁ。誘導なかったらD***ぐらいいくのでは？
112：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/09/11(土) 19:55: このスレ夏休み限定？
113：Владимир(☆8) （DTxrDxh6）：2004/09/11(土) 20:00: >>112
もうちょっと出題を予定してる問題があったのですがね。
この手の練習は夏休みと直前に向いてるんじゃないかな。
時間がたっぷりあるときと、あんまり時間がないとき。
前者の時期で訓練、後者の時期で確認ってのが理想かと。
114：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/09/11(土) 20:33: なるほど。
ではこのスレは直前までしばらくお休みですか
115：Владимир(☆8) （DTxrDxh6）：2004/09/11(土) 20:42: >>114
それは、スレ主の意向もありましょうし。
ともかく返事待ちです。
116：臺地 （qpPuO9q2）：2004/09/11(土) 23:02: えっと、投下してくだされば解くので問題があるのならよろしくお願いします。
広く万人向けということなら本スレに、俺だけでもいいやということならここに・・・。
117：Владимир(☆8) （DTxrDxh6）：2004/09/11(土) 23:06: >>116
あの、復習の報告を待っているのですが。
118：臺地 （qpPuO9q2）：2004/09/11(土) 23:09: >>117
すみません。そうでした。すっかり忘れてました。
まずそっちからやります。
119：まほろ：2004/09/17(金) 20:14: x^p=1(pは素数)の虚数解の一つをαとし、
　　f(x)=Π[k=1,p-1](x-α^k)
　　g(x)=��[k=1,p-1](x-α^k)^(-1)
とおくときf(x)、g(x)をそれぞれ求めよ。
ただし最終解答には�瑤鰺僂い討呂覆蕕覆ぁ�
120：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/09/17(金) 20:18: ( ･∀･)っ旦~
121：まほろ：2004/09/17(金) 20:19: xについての方程式
　　px^2+(p^2-q)x-(2p-q-1)=0
が解をもち、全ての解の実部が負となるような
実数の組(p,q)の範囲をpq平面上に図示せよ。

駿台テキスト数学ＸＳより抜粋。
上のもだけど処理能力問題かどうかは不明・・・
122：名無し研究員さん：2004/09/17(金) 20:25: http://bbs-i.net/
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123：まほろ：2004/09/25(土) 22:35: 答え書きましょうか？
124：臺地 （qpPuO9q2）：2004/09/26(日) 00:44: >>117
すみません、なかなか復習する時間がとれません・・・。

>>123
もうすこし待って・・・
125：臺地 （qpPuO9q2）：2004/10/01(金) 10:48: ≪復習編≫
＞第十二問
答えはあってたけどかなりの不十分解。しかも90分もかかった・・。
もう一つ七匁を次に復習したいと思います。
126：臺地 （qpPuO9q2）：2004/10/03(日) 20:24: ≪復習編≫
＞第七問
躓くことなく30分で完。こういう調子でいきたい。
あとは十匁と>>119>>121を少しずつ・・・
127：名無し研究員さん：2004/10/03(日) 23:02: では第十三問

　　αとβを正の定数とし, f(x)=xe^(αx^2)sin(βx^2)とする.
(1)　x軸のx≧0の部分と曲線y=f(x)の交点を左から順に
　　(a_0, 0),(a_1, 0),(a_2, 0), …とするとき, a_kを求めよ.
(2)　x軸と曲線y=f(x)で囲まれた図形のa_(k-1)≦x≦a_kの範囲にある部分の面積S_kを求めよ.
　　ただし, k≧1である.
(3)　S=lim_[n→∞]Σ_[k=1→n]S_kを求めよ.
128：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/03(日) 23:03: …名前入れ忘れ。
129：臺地 （qpPuO9q2）：2004/10/10(日) 13:55: >>121　40分、C***
(1)p=0のとき
qx=q+1、q=0はだめなのでx=1+1/q<0⇔q(q-1)>0。

(2)p≠0のとき
(i)解がすべて実数のとき
f(x)=x^2+(p^2-q)/p*x+(-2p+q+1)/p=0とおくと、解が全て負になる条件は、
判別式D≧0∧f(0)>0∧軸(q-p^2)/(2p)<0
⇔D≧0∧p(q-2p+1)<0∧p(q-p^2)<0。

(ii)虚数解を持つとき
実数係数だから、両方とも虚数になり、互いに共役になる。
よって、実部は等しく、その値は解と係数の関係により、(q-p^2)/(2p)。
従って実部が負になる条件は、D<0∧p(q-p^2)<0。D<0よりf(0)>0は当然だから、
これはD<0∧p(q-2p+1)<0∧p(q-p^2)<0と同値。

よって、p≠0のときの条件は、
{D≧0∧p(q-2p+1)<0∧p(q-p^2)<0}∨{D<0∧p(q-2p+1)<0∧p(q-p^2)<0}
⇔(D≧0∨D<0)∧{p(q-2p+1)<0∧p(q-p^2)<0}(分配法則)
⇔{p(q-2p+1)<0∧p(q-p^2)<0}。

以上より、求める条件は{p=0∧q(q-1)>0}∨{p≠0∧p(q-2p+1)<0∧p(q-p^2)<0}？
130：臺地 （qpPuO9q2）：2004/10/10(日) 14:16: >>127(第十五問では？)　30分
(1)
e^(αx^2)≠0より、x=0∨sin(βx^2)=0⇔x=0∨βx^2=kπ(k=0,1,2,・・・)
⇔x=√(kπ/β)(β>0より)。

(2)積分範囲は[a_(k-1),a_k]とする。
a_(k-1)≦x≦a_kでf(x)の符号変化は起こらないから、S_k=∫|f(x)|dx=|∫f(x)dx|。
∫f(x)dx=1/{2(α^2+β^2)}*[αe^(αx^2)sin(βx^2)-βe^(αx^2)cos(βx^2)]
=±β/{2(α^2+β^2)}*{e^(kαπ/β)-e^((k-1)απ/β)}
=±β/{2(α^2+β^2)}*e^((k-1)απ/β)*{e^(απ/β)-1}。
απ/β>0より、e^(απ/β)>1。
∴S_k=β/{2(α^2+β^2)}*e^((k-1)απ/β)*{e^(απ/β)-1}

(3)
e^(απ/β)=aとおくと、
Σ［k=1,n］S_k=β{e^(απ/β)-1}/{2(α^2+β^2)}*�堯�k=1,n］a^（k-1）
→∞（n→∞）（∵a>1）。
発散してしまった・・・。
131：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/11(月) 00:56: >>130
(1)　聞いてるのはa_kだからa_k=ﾅﾆﾅﾆって形で答えてください。

(2)　三行目の積分は定積分ですよね。
　　　定積分の値が±ってのはﾍﾝですね。
　　　±がなくても計算間違いがあるようですが。

(3)　(2)の計算間違いが遺伝してますね。
　　　発散はしません。
132：臺地 （qpPuO9q2）：2004/10/11(月) 13:37: >>130訂正
求める条件は{p=0∧q(q-1)<0}∨{p≠0∧p(q-2p+1)>0∧p(q-p^2)<0}
どうしたんだろ、やけに書き方雑になるし、変な計算ミスが・・・
出典は東大92文系ですね。

>>131
＞聞いてるのはa_kだから・・・
そうです。すみません。a_k=√(kπ/β)です。

＞定積分の値が±ってのはﾍﾝですね
[αe^(αx^2)sin(βx^2)-βe^(αx^2)cos(βx^2)]_[a_(k-1),a_k]
=-e^(kαπ/β)cos(kπ)+e^((k-1)απ/β)cos((k-1)π)}
ですよね？cos(kπ)=±1=-cos((k-1)π)だから、この式の値は結果的に±をつけて
±{e^(kαπ/β)-e^((k-1)απ/β)}とならないでしょうか？
f(x)がx軸の上に来るのと下にいくのを交互に繰り返すのだから、
直感的にも、kが1増えるごとに∫f（x）dxは正、負を繰り返す気がします。
そして最終的には絶対値を取って|∫f(x)dx|となるわけだから、±は消えると考えたのですが。

＞±がなくても計算間違い
うーんどこでしょうか。一応見直ししたんですけど・・・。
133：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/11(月) 13:40: >>132
えとね。
kが整数のときcos(kπ)は±1に等しいってのはおかしいです。
cos(kπ)が等しいのは(-1)^kです。
134：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/11(月) 13:45: あ、>>127の出典は2004島根大学です。
1992位なら文系で三角関数の積分は出ないと思います。
135：臺地 （qpPuO9q2）：2004/10/11(月) 13:58: >>133
そうでした。どうしたんだ俺・・・。結果は正しいですよね？

>>134
132のレス番間違えたorz正しくは>>129、AM氏出題の問題です。
136：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/11(月) 14:16: >>135
あせってるのかな。あるいは先入観に縛られすぎてるのかな。
うーんと。どうしようかな。
使うべきでないところに複号を使ってしまってるのは、了解されましたよね。

＞結果は正しいですよね？
どの結果が正しいかどうかを聞いてるのか分かりませんが
S_kの値はe^(kαπ/β)-e^((k-1)απ/β)ではないです。
137：臺地 （qpPuO9q2）：2004/10/11(月) 18:05: >>136
＞あせって・・・
ここ数日何かおかしいです・・。
＞使うべきでないところに・・・
はい、納得です。

S_k=β/{2(α^2+β^2)}*e^((k-1)απ/β)*{e^(απ/β)-1}
でもないですか？
138：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/11(月) 18:06: >>137
えと。違います。
139：臺地 （qpPuO9q2）：2004/10/11(月) 18:07: >>138
うー困った・・・
140：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/12(火) 20:13: 大変申し訳ありません。
>>127で投下した問題中に重大な誤りがありました。
このままでは(3)のSは存在しなくなってしまいます。

訂正
× f(x)=xe^(αx^2)sin(βx^2)
○ f(x)=xe^(-αx^2)sin(βx^2)

説いてくださった皆様。すみませんでした。
141：名無し研究員さん：2004/12/29(水) 23:12: age
142：臺地 （qpPuO9q2）：2005/02/01(火) 09:40:10: 久しぶり。微妙に残った問題があるんで片付けてしまいましょう

>>127(解法畧)
(1)a_k=√(kπ/β)
(2)S_k=β/{2(α^2+β^2)}*e^(-kαπ/β)*{e^(απ/β)+1}
(3)こんどは等比級数の公比｜e^(-kαπ/β)｜<1だから無間和は
β{e^(απ/β)+1}/〔{2(α^2+β^2)}{e^(απ/β)-1}〕に収束。

>>119（畧解）
素数って条件不要じゃね？
(1)x^p-1=(x-1)*Π[k=,p-1](x-α^k)はxの恒等式。
⇔1+x+x^2+・・・+x^(p-1)=Π[k=,p-1](x-α^k)はxの恒等式
x=1のときｆ(1)=右辺｜_(x=1)=p
x≠1のときf(x)=(x^p-1)/(x-1)。

(2)g(x)=f´(x)/f(x)
ここでf(x)=1+x+x^2+・・・+x^(p-1)よりf´(x)=1+2x+3x^2+・・・+(p-1)x^(p-2)
∴f'(1)=p(p-1)/2。
一方x≠1のときf´(x)={(p-1)x^p-px^(p-1)+1}/(x-1)^2。
以上よりx=1のときg(1)=(p-1)/2
x≠1のときg(x)={(p-1)x^p-px^(p-1)+1}/{(x-1)(x^p-1)}。
143：臺地 （qpPuO9q2）：2005/02/01(火) 10:08:34: >>61
P(p,p^2)、Q(q,q^2)、R(x,y)とする(p<1<q)。Rは図形的に直線PQの上方にある。
線分PQの中点=線分ARの中点(これをB(z,w)とおく)より
x+1=p+q・・・①、y+1=p^2+q^2・・・②　∴pq=｛(x+1)^2-(y+1)^2｝/2・・・③

ここでPAの傾きp+1、QAの傾きq+1。PA⊥QAより(p+1)(q+1)=-1・・・④
PA=QAより(1-p)√{1+(p+1)^2}=(q-1)√{1+(q+1)^2}
両辺二乗して(1-p)^2{1+(p+1)^2}=(q-1)^2{1+(q+1)^2}
⇔(p-q)(p+q)(p^2+q^2)-(p-q)(p+q)-2(p-q)=0
p≠qより(p+q)｛(p^2+q^2)-1｝=2。①②より(x+1)y=2・・・⑤

①③を④に代入して(x+1)^2-(y+1)+2(x+1)-4=0・・・⑥
⑥の両辺にy^2を掛け、⑤よりxを消去して整理すると
y^3-3y^2-5y-4=0・・・⑦を得る。

次にQのy座標の値を評価する。BA↑=(1-z,1-w)で、BQ↑はこれを90°回転したものだから
(w-1,1-z)。∴OQ↑=OB↑+BQ↑=(z+w-1,w-z+1)∴Q(z+w-1,w-z+1)。
⑦で左辺をf(y)とおくと、f(0)=-4、f(1)=-4、f(2)=-16、f(3)=-16、f(4)=-4、f(5)=26
より4<y<5。∴5/2<w<3。⑤より2/5<x+1<1/2∴1/5<z<1/4。
従って33/10<w-z+1<15/4。したがってQのy座標の整数部分は3。

50分、C***　何気に良問だと思う。
144：臺地 （qpPuO9q2）：2005/02/01(火) 12:59:22: このスレはこれで終了、かな・・・そんなわけで最後に過去ログから挑戦問題

＞ver.12.0@921
座標空間において、 平面z=√2上にある、中心(0,0,√2)で半径2の円をC1とし、 
平面z=-√2上にある、中心(0,0,-√2)で半径2の円をC2とする。 
また、点P(x,y,z)に対して、円c1上を動く点とPの距離の最小値をm 、
円c2上を動く点とPの最大値をMとした時 |M-4√2|=>mを満たすPの存在範囲をDとする。 
Dの体積を求めよ。
145：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/02/06(日) 03:39:16: >>142
>>127の解答。おｋです。打ちミスすんませんでした。