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「東大」「数学」「補完」

99：n厨：2004/08/18(水) 22:52
補題
√n∫[0,1](1-x^2)^n dx<∫[0,∞]e^(-x^2) dx<√n∫[0,∞]1/(1+x^2)^n・dx

1+x≦e^x　が成り立つのでxを-x^2とすれば1-x^2≦e^(-x^2)…①
①からn乗して積分することで
∫[0,1](1-x^2)^n・dx<∫[0,1]e^(-nx^2)・dx<∫[0,∞]e^(-nx^2)・dx
さらにxをx^2にすることにより1+x^2≦e^(x^2)からe^(-x^2)≦1/(1+x^2)…②
②からn乗して積分することで
∫[0,∞]e^(-nx^2)・dx<∫[0,∞]1/(1+x^2)^n・dx
合わせて
∫[0,1](1-x^2)^n・dx<∫[0,1]e^(-nx^2)・dx<∫[0,∞]e^(-nx^2)・dx
<∫[0,∞]1/(1+x^2)^n・dx　
これに√nをかけて
√n∫[0,1](1-x^2)^n・dx<√n∫[0,1]e^(-nx^2)・dx<√n∫[0,∞]1/(1+x^2)^n・dx
真中xをx/√nとすれば
√n∫[0,1](1-x^2)^n・dx<∫[0,∞]e^(-x^2)・dx<√n∫[0,∞]1/(1+x^2)^n・dx
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