「東大」「数学」「補完」

97：n厨：2004/08/18(水) 22:41: ＞∫[-∞,∞]e^(-x^2)dxを求めよ

準備１
I_n=∫[0,π]sin^n xdx (n=0,1,2,…)
とします。
I_n=∫[0,π]sinx・ sin^(n-1) xdx=[-cosx・sin^(n-1) xdx]
+(n-1)∫[0,π]cox^2 x・sin^(n-2) x=(n-1)(I_(n-2)-I_n)
∴I_n=(n-1)/n・I_(n-2) (n=2,3,4,…)
特にnが偶数のとき2nとすれば
I_2n=(2n-1)/2n・I_(2n-2) (n=1,2,…)
nが奇数のとき2n+1とすれば
I_(2n+1)=2n/(2n+1)・I(2n-1)(n=1,2,…)

準備２
0<x<π/2のとき0<sinx<1なので0<sin^(n+1) x<sin^n x
これを積分することにより
0<∫[0,π/2]sin^(n+1) xdx<∫[0,π/2]sin^n xdxより0<I_(n+1)<I_n<I_(n-1)
特にnを2nとすれば
I_(2n+1)<I_2n<I_(2n-1)これより1<I_(2n)/I_(2n+1)<I_(2n-1)/I_(2n+1)=(2n+1)/2n
n→∞とすればI_(2n)/I_(2n+1)→1

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