「東大」「数学」「補完」

8：приезд(☆4) </b><font color=#FF0000>（DTxrDxh6）</font><b>：2004/04/12(月) 23:57: えーっと。本スレ>>340までで議論されてたことの元ネタについて.

「ZはP.I.D.である」というのが元ネタでしょう。
P.I.Dとはprincipal ideal domain 単項イデアル整域の略です.
整域としてのZのイデアルは皆単項生成であると言う内容です.

集合Xが環であるとはX上に二つの演算が与えられており片方で可換群をなしており
もう片方で半群をなしており、さらに分配律を満たしていることをいいます。
可換群をなしてるほうの演算を和,半群をなしてるほうの演算を積とよぶ習慣があります.
分配律ってのはa(b+c)=ab+acの方です.a+(bc)=(a+b)(a+c)の方じゃないです.
積が可換である環を可換環といいます.ab=0だがa≠0,b≠0であるようなa,bを(0は和の単位元です)
零因子といいます.零因子を持たない可換環を整域といいます.

環Xの部分集合YがイデアルであるとはY自身が和で群をなしており,Xの元とYの元の積が常に
Yの元となっていることをいいます.

例えば{a_1,…,a_n}⊂XとしてY={k_1a_1+…+k_na_n|各k_i∈Z}とするとYはイデアルになっています.
このときのYを<a_1,…,a_n>とかき,a_1,…,a_nをその生成元といったりします.
1つの元で生成されるイデアルを単項イデアルといいます.

そのイデアルが皆単項生成である整域を単項イデアル整域といいます.

なお、単項イデアル整域上の多項式全体からなる整域はまた単項イデアル整域であるという事実が知られています.

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