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「東大」「数学」「補完」

100：n厨：2004/08/18(水) 23:40
特に左辺xをcosxとし、右辺xをtanxとすれば
√nI_(2n+1)<∫[0,∞]e^(-x^2)dx<√nI_(2n-2)=2n√n/(2n-1) I_(2n)
=2n/(2n-1)・I_2n/I_(2n+1)・√nI_(2n+1)

ここで準備１を拝借して
I_2n/I_(2n+1)=ちょっと手書きメモみたいに分子、分母を分けて書きます
=分子=(2n-1)(2n+1)・(2n-3)(2n-1)・…・(1・３)・π
=分母=(2n)^2・(2n-2)^2・…・2^2・2
これから
分子=(2n-1)(2n+1)・(2n-3)(2n-1)・…・(1・３)
分母=(2n)^2・(2n-2)^2・…・2^2
=2/π・I_2n/I_(2n+1)
準備2を拝借して
分子=(2n-1)(2n+1)・(2n-3)(2n-1)・…・(1・３)
分母=(2n)^2・(2n-2)^2・…・2^2
→2/π
ひっくり返すと
分子=(2n)^2・(2n-2)^2・…・2^2
分母=(2n-1)(2n+1)・(2n-3)(2n-1)・…・(1・３)
→π/2
両辺を1/2乗して
分子=2n・2n-2・…・2
分母=√(2n+1)・(2n-1)・…・3
→√(π/2)
I_で表すと
lim[n→∞]√(2n+1)・I_(2n+1)=√(π/2)
√n・I_(2n+1)< √(n+ 1/2 )・I_(2n+1)→√π/2
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