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数学質問スレ

218：大地の水：2004/04/29(木) 23:25
>>216
LAR-men さんのご指摘で、自分の解答が不完全であることが分かりました。
とりあえず、自分で分かったところまで書いてみます。

（解答）
ｆ“＞０より、ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフは下に凸である。
ここで、A（a,f(a)）,B（b，f(b)）とおき、
A、Bからｘ軸に下ろした垂線の足をそれぞれD、Cとおく。
不等式の右辺を整理すると、　1/2（ｂ-a)（ｆ（ｂ）＋ｆ（a））

i)区間内でｙ＝ｆ（ｘ）がｘ軸より上にある、又はｘ軸と接する場合
図より明らかに　台形（又は長方形）ABCDの面積＞∫[a,b]ｆ(ｘ)ｄｘ
∴∫[a,b]ｆ(ｘ)ｄｘ＜(１/(b-a)) ∫[a,b]｛ｆ(ｂ)(ｘ−a)−ｆ(a)(ｘ−b）｝ｄｘ

ii)区間内でy=f(x)がx軸と2点を共有する場合
同様に面積で考えて、
「台形（又は長方形）ABCDの面積」＝−1/2（ｂ-a)（ｆ（ｂ）＋ ｆ（a））＜−∫[a,b]ｆ(ｘ)ｄｘ
∴∫[a,b]ｆ(ｘ)ｄｘ＜(１/(b-a)) ∫[a,b]｛ｆ(ｂ)(ｘ−a)−ｆ(a)(ｘ−b）｝ｄｘ

iii)区間内でy=f(x)がx軸と1点を共有する場合
ここで手が止まりました。あとはどう続ければいいんでしょう？
(;´Д`)？
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