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数学質問スレ

213：大地の水：2004/04/29(木) 19:31
初めましてこんにちは。数学が苦手な浪人生です。
本スレに書き込みはしたことがなく、ROM専なのですが、先日行われた
4/25(日) の2ｃｈ模試[3](1)で質問があります。

（１）関数ｆ（ｘ）は閉区間a≦ｘ≦ｂで連続、
開区間a＜ｘ＜ｂで２回微分可能であり、
この区間でｆ”＞０とする。このとき、不等式
∫[a,b]ｆ(ｘ)ｄｘ＜(１/(b-a)) ∫[a,b]｛ｆ(ｂ)(ｘ−a)−ｆ(a)(ｘ−b）｝ｄｘ
が成り立つことを示せ


（私の解答方針）
ｆ“＞０より、ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフは下に凸である。
ここで、A（a,f(a)）,B（b，f(b)）とおく。
不等式の右辺を整理したら　1/2（ｂ-a)（ｆ（ｂ）−ｆ（a））
となって、これを台形の面積とみなす。
そしてｙ＝ｆ（ｘ）がｘ軸より上にある場合とｘ軸と接する場合とｘ軸より下にある
場合に分けて、∫[a,b]ｆ(ｘ)ｄｘの面積と上記の台形の面積の大小から、いずれの場合も
∫[a,b]ｆ(ｘ)ｄｘ＜(１/(b-a)) ∫[a,b]｛ｆ(ｂ)(ｘ−a)−ｆ(a)(ｘ−b）｝ｄｘ
が成り立つ、としたのですが、これで正解になるのでしょうか？どなたかお願いします。
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