◆ わからない問題はここに書いてね ◆

319：Je n'ai pas de nom!：2011/05/23(月) 06:41:43: 次の問題で質問があります．

楕円x^2/9 + y^2/4 = 1 から直線x+2y=7までの最短距離を求めよ．

自分の解答

楕円上に点P(a,b)をとったとき，点Pと直線x+2y=7の距離d(a,b)は，
d(a,b)=|a+2b-7|/√(a^2+b^2)　　　　（ただし，a^2/9 + b^2/4 = 1　…①）
d(a,b)が最小となるときは，線分が点Pにおいての楕円の法線の一部になるとき，
すなわち点Pにおいての接線が直線x+2y=7と平行になるときである．
接線の方程式はax/9 + by/4 = 1 ⇔ y=(-4a/9b)x + 4/b なので，
x+2y=7⇔y=(-x/2)+7/2と傾きをくらべて，4a/9b = 1/2 ⇔ 8a=9b　…② を得る．
①，②を解くと
(a,b)=(9/5,8/5)
mind(a,b)=d(9/5,8/5)=|9/5+16/5-7|/(√(81+64)/25)=2√145/29

となりましたが，①，②を解いたときに(a,b)=(-9/5,8/5)なども出てきます．
でも図で確認してみると，それらは正しくありません．
どのようにしてそれらを不適と示せばよいのでしょうか．
また，自分の解答のプロセスは合っていますか？？少し自信がありません．
320：Je n'ai pas de nom!：2011/05/23(月) 19:06:03: 2chにて、点と直線の距離が違っていることを教えていただきました。
321：Je n'ai pas de nom!：2011/05/23(月) 20:02:36: 結局このようになりました。

楕円上に点P(a,b)をとったとき，点Pと直線x+2y=7の距離d(a,b)は，
d(a,b)=|a+2b-7|/√(1^2+2^2)=√5|a+2b-7|/5　　　　（ただし，a^2/9 + b^2/4 = 1　…①）
d(a,b)が最小となるときは，線分が点Pにおいての楕円の法線の一部になるとき，
すなわち点Pにおいての接線が直線x+2y=7と平行になるときである．
接線の方程式はax/9 + by/4 = 1 ⇔ y=(-4a/9b)x + 4/b なので，
x+2y=7⇔y=(-x/2)+7/2と傾きをくらべて，4a/9b = 1/2 ⇔ 8a=9b　…② を得る．
①，②を解くと，(a,b)=(±9/5,±8/5)
ここで，(-9/5,-8/5)は最大距離の点にあたる．
よって，mind(a,b)=d(9/5,8/5)=√5|9/5++16/5-7|/5=2√5/5

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