面白い問題おしえて～な 35問目@避難所

2：名無しさん：2021/05/19(水) 12:07:12: とりあえず立てました
3：名無しさん：2021/05/19(水) 19:47:18: 見てる人いるかな？

正三角形の内部に点を1つ取ったところ、各頂点から点までの長さがそれぞれ3,4,5になった
正三角形の1辺の長さを求めよ
4：名無しさん：2021/05/27(木) 08:43:38: てす
5：名無しさん：2021/05/27(木) 09:01:01: とりあえず3つの未知数(正三角形の一辺、点の位置)に対して3つの条件があるから、ゴリ押しすれば解ける
正三角形の一辺をx、各頂点から点までの距離をabcとおくと
x^4-(a^2+b^2+c^2)x^2+2√3S=0
(ただしSはabcを3辺に持つ三角形の面積)
ここから正の解として
x=√(25±12√3)=2.053… , 6.766…
が得られる
内部の点だったのでx=√(25+12√3)
(もう１つは外部のときの解)
6：名無しさん：2021/05/27(木) 09:10:14: あ、途中の式が間違えてる
(x^2-(a^2+b^2+c^2)/2)^2-12S^2=0
か
7：名無しさん：2021/05/27(木) 09:19:20: ん、だから最初から
x=√((a^2+b^2+c^2)/2±2√3S)
と書けば良かったか
8：名無しさん：2021/05/27(木) 11:27:01: いいね

ゴリ押しじゃないもっと面白い解き方も存在する
9：名無しさん：2021/05/27(木) 12:53:24: ああ、なるほど
点を頂点に持つ3つの三角形を正三角形の外にひっくり返すと、辺√3a,√3b,√3cを持つ三角形の周りに辺√3a,a,a、辺√3b,b,b、辺√3c,c,cを持つ二等辺三角形をくっつけた形になって、これが元の正三角形の2倍の面積を持つことから、上の等式が従うのか
10：名無しさん：2021/05/27(木) 15:39:41: 近いんだけど、こうするとさらに解きやすい
//i.imgur.com/s0AZMWt.jpg

この六角形は1辺が3, 4, 5の正三角形と辺の比が3:4:5の直角三角形3つから構成されていて
面積は元の正三角形の2倍になっている
11：名無しさん：2021/05/27(木) 16:08:24: たしかに
というか面積たちが自然数係数の線形関係だったから、こういうのがあるだろうと予想はしたけど先に思いついたのが上のパターンだった

てかここの掲示板は何かアプリで見れるんだろうか
スマホの普通のブラウザからだと直に書き込みしてると途中で固まる(コピペなら書き込める
12：名無しさん：2021/05/27(木) 21:10:16: 普通にスマホから書き込んでるけどなんともないなあ
そのへんはよくわからん
13：名無しさん：2021/05/29(土) 12:33:53: 新スレ
36 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1622242743/
14：名無しさん：2021/06/28(月) 08:55:24: 新スレ
37問目
//rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1624644393/

(貼る意味あるのか…？)
15：名無しさん：2022/04/12(火) 00:00:02: n|((n-s)^p+s^p)。
s=0,1,2,...,n。
n|(2(1^p+2^p+...+n^p))。

(n+1)|((n+1-s)^p+s^p)。
s=1,2,...,n。
(n+1)|(2(1^p+2^p+...+n^p))。

(n(n+1))|(2(1^p+2^p+...+n^p))。
(n(n+1)/2)|(1^p+2^p+...+n^p)。

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