平成24年度VIP大学入学試験問題　数学（理系）

1：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2012/05/26(土) 16:24:41: 第1問
f(x)＝8x^3＋6x－1について，
(1)　方程式f(x)＝0は正の解を2個，負の解を1個，－1＜x＜1の範囲で持つことを示せ。
(2)　(1)の3つの解をa，b，c(a＜b＜c)とする。このとき
　　　　a＝2b^2－1，b＝2c^2－1，c＝2a^2－1
　が成り立つことを示せ。
(3)　座標平面上の原点Oを中心とする半径1の円周上の4点を点A(a，√(1－a^2))，B(b，√(1－b^2))，
C(c，√(1－c^2))，P(1，0)とする。ただし，a，b，cは(2)で定めたものとする。
　このとき，∠POA，∠POB，∠POCの大きさを0°から180°の範囲で求めよ。
2：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2012/05/26(土) 16:25:38: 第2問
点Oを中心とする半径6の定円Cと，この円Cの中に定点Aがあり，OA＝4とする。円Cの円周上の任意の点をPとしたとき，∠PAQ＝90°となるよう円周上にもう1点Qをとり，弦PQの中点をMと　する。このとき，次の各値を求めよ。
　(1)　OM^2＋AM^2
　(2)　線分OAの中点をBとしたとき，BM^2
3：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2012/05/26(土) 16:27:31: 第3問
Dをある病気とし，このDを発見する検査法Tに関して，次のことが知られている。
　　・Dにかかっている人に，Tを適用すると98%の確率でDであると正しく診断される。
　　・Dにかかっていない人に，Tを適用すると5%の確率で誤ってDにかかっていると診断される。
　　・人全体からなる母集団においては，Dにかかっている人とDにかかっていない人との割合はそれぞれ3%，97%である。
　このとき母集団より無作為に抽出された1人に，Tを適用してDにかかっていると診断されたとき，こ
の人が本当にDにかかっている確率を求めよ。
4：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2012/05/26(土) 16:28:13: 第4問
平面上に△ABCと点Pがあり，AP→＝2BP→＋3CP→である。APとBCの交点をQ，ABの中点をR，PRとBCの交点をTとする。
　(1)　AP→＝ア AP→＋イ AC→である。
　(2)　AQ→＝ウ AP→，BQ→＝エ BC→である。
　(3)　△AQCの面積をS1，△BQRの面積をS2，△PQTの面積をS3とすると，
　　S2S1＝オ，S3S1＝カである。
　(4)　四角形ATPCについて，外接円，および内接円が存在する場合，cos∠BAC＝キである。
5：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2012/05/26(土) 16:29:16: 第5問
xyz空間において，平面z＝0上の原点を中心とする半径2の円を底面とし，点(0，0，1)を頂点と
する円錐をAとする。
　　次に，平面z＝0上の点(1，0，0)を中心とする半径1の円をH，平面z＝1上の点(1，0，1)を中心とする半径1の円をKとする。HとKを2つの底面とする円柱をBとする。
　　円錐Aと円柱Bの共通部分をCとする。
　　0≦t≦1を満たす実数tに対し，平面z＝tによるCの切り口の面積をS(t)とおく。
　(1)　0≦θ≦π/2とする。t＝1－cosθのとき，S(t)をθで表せ。
(2)　Cの体積インテグラル10S(t)dtを求めよ。
6：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2012/05/26(土) 16:30:07: 第6問
平面上の2点P，Qの距離をd(P，Q)と表すことにする。平面上に点Oを中心とする一辺の長さが1000の正三角形△A1A2A3がある。△A1A2A3の内部に3点B1，B2，B3を
d(An，Bn)＝1(n＝1，2，3)となるようにとる。また，
　　　　　　　　　a1→＝A1A2→，a2→＝A2A3→，a3→＝A3A1→
　　　　　　　　　e1→＝A1B1→，e2→＝A2B2→，e3→＝A3B3→
とおく。n＝1，2，3のそれぞれに対して，時刻0にAnを出発し，en→の向きに速さ1で直進する
点を考え，時刻tにおけるその位置をPn(t)と表すことにする。
(1)　ある時刻tでd(P1(t)，P2(t))≦1が成立した。ベクトルe1→－e2→と，ベクトルa1→との成す角をθとおく。このとき|sinθ|≦11000となることを示せ。
(2)　角度θ1，θ2，θ3をθ1＝∠B1A1A2，θ2＝∠B2A2A3，θ3＝∠B3A3A1によって定義する。
aを0＜a＜π2かつsina＝1/1000を満たす実数とする。(1)と同じ仮定のもとで，θ1＋θ2の値のとる範囲をaを用いて表せ。
(3)　時刻t1，t2，t3のそれぞれにおいて，次が成立した。
　　　　d(P2 (t1)，P3 (t1))≦1，d(P3 (t2)，P1 (t2))≦1，d(P1 (t3)，P2 (t3))≦1
　　このとき，時刻T＝1000/√3において同時に
　　　　　　　d(P1 (T)，O)≦3，d (P2 (T)，O)≦3，d (P3 (T)，O)≦3
　　が成立することを示せ。
7：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2012/05/26(土) 16:32:19: 訂正
第4問
S2S1→S2/S1
S3S1→S3/S1
8：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2012/05/31(木) 18:12:36: ちなみに問題が理解できない時点でアウト
実際問題これ解けたら東大レベル？
9：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2012/06/02(土) 20:50:59: 東大と同じかそれ以上かも
10：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2012/06/04(月) 18:15:24: ㌧クス

てか学力なんて小学校で止まってるわｗｗ

平成24年度VIP大学入学試験問題 数学（理系）