レイン常駐スレ - 1443585139 - したらば掲示板

レイン常駐スレ

118：れいん：2020/04/24(金) 03:50:55 ID:QR0EOYPk0: ［解答５］

まず、前提よりf'(x)が存在し、またf''(x)<=0であることからf'(x)は広義の単調減少関数である。
すなわち、x1,x2,x3(x1<x2<x3)に対して、f(x1)-f(x2)/x2-x1>=f(x2)-f(x1)/x2-x1が言える。
何故なら、平均値の定理よりx1<c1<x2でありf'(c1)=f(x1)-f(x2)/x2-x1を満たすようなc1が存在し、
また同様にしてx2<c2<x3にあって同様の条件を満たすc2が存在し、それらはc1<c2であり、f'(x)が単調現象であることと合わせ
f'(c1)>=f'(c2)となるからである。

ここで、0<t<1なるtに対してa<(t-1)a+tb<b（このとき(t-1)a+tbは数直線上でa,bをt:1-tに内分する）

ここで、x1=a,x2=(1-t)a+tb,x3=bを代入すると、題意の式が得られる。
119：れいん：2020/04/24(金) 03:53:48 ID:QR0EOYPk0: ここで、微分積分の議論を用いて相加相乗の式を証明してみる。

［例題６］
D=(0,∞)として、Dのx1,x2,x3に対して(x1+x2+x3)/3>=e_sqrt(x1x2x3)を示せ。
120：れいん：2020/04/24(金) 04:20:48 ID:QR0EOYPk0: ［解答６］

まず、二回微分可能な関数で第二次導関数が連続かつ常に負な関数を考える。このとき、
a1<a2<a3を満たす関数に対して{f(a2)-f(a1)}/(a2-a1)>{f(a3)-f(a2)}/(a2-a1)が成り立つ
何故なら、f(x)は連続であるから、a1<c1<a2なるc1に対して平均値の定理より
{f(a2)-f(a1)}/(a2-a1)=f'(c1)となるようなc1が存在する。
同様に、a2<c2<a3なるc2でこのような条件を満たすようなc2もまた存在する。
ここで、f''(x)<0であるからf'(c1)>f'(c2)であり、これはすなわち{f(a2)-f(a1)}/(a2-a1)>{f(a3)-f(a2)}/(a2-a1)

このような条件のとき、0<=a<=1であるaとy1,y2(y1<y2とする）に対して
f{ay1+(1-a)y2}>=af(y1)+(1-a)f(y2)が成り立つ。
（上述の方程式においてa1=y1,a2=ay1+(1-a)y2、a3=y2とすれば導出される）

また、これらを用いると、d1+d2+d3=1かつdn>=0を満たすd1,d2,d3に対しても
f(d1y1+d2y2+d3y3)>=d1f(y1)+d2f(y2)+d3f(y3)となる

ここで、f(x)=logx(x>0)とすると、この関数は所与の条件を満たす。
ここでd1=d2=d3=1/3とすると
log(y1+y2+y3)/3>=1/3 ・ log(y1y2y3)であるから、題意の不等式は示される
121：れいん：2020/04/24(金) 23:15:23 ID:QR0EOYPk0: ［例題７］

関数f(x)は微分可能で、次の条件を満たす。
(a) f(x)>=x+1
(b) すべての実数hに対し、x(x+h)>=f(x)f(h)
f(x)を求めよ。
122：れいん：2020/04/24(金) 23:23:36 ID:QR0EOYPk0: 「解答７」

(a)よりf(0)>=1
(b)よりx(0)>=f(0)^2つまり0<=f(0)<=1
f(0)=1

(a)とf(0)=1からf(x)-f(0)>=xであるが、x>0のときとx<0のときをそれぞれ考え、
またf(x)が微分可能であることから、f'(0)=1である

このときf'(x)=f(x)となり、f'(x)/f(x)=1となり
両辺を積分し、log|f(x)|=x+C1（積分定数）
つまり、f(x)=+-e^(x+C1)=e^x（何故ならf(0)=1）
したがってf(x)=e^xということがわかる

※書き込む際の注意事項はこちら

※画像アップローダーはこちら

（画像を表示できるのは「画像リンクのサムネイル表示」がオンの掲示板に限ります）