独り言

269：我疑う故に存在する我：2006/04/26(水) 17:06:00 ID:FjbkDfMI: >>267-268
自明とは言えなかったので証明を述べておこう。
S の位数を n, R = Q とする。

S = {x_1, x_2, ....... , x_n} に新しい元 x_0 を付け加えて T とし、
x_0*x_0 = x_0, ∀x ∈ S , x_0*x = x*x_0 = x とすればモノイド T を得る。
M = { Σ_{ i = 0 }^n a_n*x_n | a_i ∈ Q, Σ_{ i = 0}^n a_n = 0}
即ち、有理係数形式和で、
係数の和が 0 なる物全体とする。 M は Q - 加群として、 Q^n に同型。

i) ∀x ∈ T, x*a = a なる a ∈ T が存在しない場合。
M に S の元を右から乗ずることにより忠実表現を得る。

ii) ∀y ∈ T, b*y = b なる b ∈ T が存在しない場合。
同様に S の元を左から乗ずることにより忠実表現を得る。

i), ii) 以外の場合。 b = b*a = a となり、
その様な b = a は一個となるので、乗法により忠実表現を得る。

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