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独り言

230：我疑う故に存在する我：2005/08/20(土) 14:04:00 ID:ncE6pZzA
CP^2 が S^5 に滑らかに（或いは位相的局所平坦に）埋め込めたとして矛盾を導く。
Alexander duality によって、

i) X = S^5 - CP^2 は二つの連結成分に分かれる。
ii) H_i (X, Z) = 0, Z, 0, 0 (i = 1, 2, 3, 4).

従って X の少なくとも一方の連結成分 A に対し、

iii) H_i (A, Z) = 0, 0, 0, 0 (i = 1, 2, 3, 4).

A ∪ CP^2 = M と置くと、 ∂M = CP^2,
iv) H_i (M, Z) = 0, 0, 0, 0 (i = 1, 2, 3, 4).

M と ∂M の相対ホモロジー完全系列により、
H_3 (M, ∂M, Z) = Z.

(M, ∂M) に関する Poincare-Lefshetz duality とあわせて、 iv) に矛盾。
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