調べ物したらカキコすれ - 1129032917

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619：Mr.名無しさん：2011/01/12(水) 07:10:10: εδ論法いぷしろんでるたろんぽ

関数fの連続性を定義する一つの方法。ε-δ論法とも書く。
実数から実数への関数f はaに充分に近いxに対して、いつでもf(x)がf(a)に近い値を取れば、fはaで連続である。
例えば、f(0)=1、f(x)=0(x≠0)として定義するとfは0以外のどの点でも連続であるが0では非連続だ。
往々にして以上の定義で十分かもしれないが、実際には「充分に近い」あるいは「近い」とは何かが、より複雑な関数では問題になる。
よって、正確には「任意のε>0に対して、ある数δ>0が存在し、｜x-a｜<δであるどんなxに対しても｜f(x)-f(a)｜<εが成り立てばfはaで連続である」と定義する。
fが任意の点において連続であれば、単にfは連続であると言う。上記の εとδを使った関数の連続性に関わる議論をεδ論法と言う。

大学で学習する高等数学の壁のひとつ。

漫才による解説

不動産屋：お客さん、このへんは段差のない土地でっせ。
客：段差ゆうてもなぁ。デコボコはしとるなぁ。まあ1mの段差とかはないみたいやな。
不：デコボコしとっても段差はおまへん。実際試してみなはれ。どの場所でもええから、
そやな、半径3mの円書いてみなはれ。そんなかの高低差は1m以内になりまっせ。
てことはやな、1mの段差はない、っちゅーことですわ。
客：でもな、歳取って車椅子とかんなると10cmの段差もこたえるんやわ。
不：ほならお客さん、そやな、1mの円を書いてみなはれ。高低差10cmはないはず
ですわ。
客：ほうほう。ほんならついでや、1cmならどないや
不：なんぼでも言いなはれ。10cmの円書けば大丈夫ですわ。
客：ほんなら1mmなら
不：3cm
...
...
客：ほんならε
不：δ

ちゃんとした解説

例えば、

* f(x)=1 (x=0)
* f(x)=0 (xが0以外)

として、この関数がf(1)で連続かを考える。

* |f(x)-f(1)|<ε （しかし、xは｜x-1｜<δ の範囲で定義される）

この不等式において、イプシロンが任意の時にx=0とされると不等式が成立しない。そこで、ある数δをδ<1とすると、この不等式は成立する。つまり、

* 任意のε>0に対して、ある数δ>0（0<δ<1である）が存在し、 (a=1のとき)｜x-a｜<δであるどんなxに対しても｜f(x)-f(a)｜<ε

が成り立つため、f(x)はx=1で連続である。

一方、f(0)で連続かを考えたとき、

* |f(x)-f(0)|<ε （しかし、xは｜x-0｜<δ の範囲で定義される）

この不等式において、x=0でないかぎり不等式は成立しない。そして、xは｜x-0｜<δ の範囲で定義されるため、δが0<δである以上、
どのようなδを定義しても絶対値がδよりも小さい範囲でxが定義されるため、x=0とならずに不等式は成立しない。
つまり、任意のε>0に対してδが存在しないため、 f(x)はx=0で不連続である。

εδ論法は、実数に限らず一般に任意の距離空間Xから任意の距離空間Yへの関数fの連続性の定義として使える。
さらに「Yの任意の開集合のfによる引き戻しがXの開集合となる」という一般の位相空間上でのfの連続性の定義と、距離空間において同値となる。