レイン常駐スレ

118：れいん：2020/04/24(金) 03:50:55 ID:QR0EOYPk0: ［解答５］

まず、前提よりf'(x)が存在し、またf''(x)<=0であることからf'(x)は広義の単調減少関数である。
すなわち、x1,x2,x3(x1<x2<x3)に対して、f(x1)-f(x2)/x2-x1>=f(x2)-f(x1)/x2-x1が言える。
何故なら、平均値の定理よりx1<c1<x2でありf'(c1)=f(x1)-f(x2)/x2-x1を満たすようなc1が存在し、
また同様にしてx2<c2<x3にあって同様の条件を満たすc2が存在し、それらはc1<c2であり、f'(x)が単調現象であることと合わせ
f'(c1)>=f'(c2)となるからである。

ここで、0<t<1なるtに対してa<(t-1)a+tb<b（このとき(t-1)a+tbは数直線上でa,bをt:1-tに内分する）

ここで、x1=a,x2=(1-t)a+tb,x3=bを代入すると、題意の式が得られる。

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