だからさっさかかってくればいいんですがねえーーーーーー
集合を\mathfrak{P}(S) とする。
1/1、1/2、2/1、2/2、1/3、2/3、3/1、3/2、1/4、4/1、2/4、4/2、3/4、4/3、4/4・・・
そのとき、単射の条件を満たすため約分による重複の部分は取り除く（赤の部分）。
また下のように分子ごとに分けて列記すると、
分子を1とする有理数の無限集合｛1/1、1/2、1/3、1/4…｝
分子を2とする有理数の無限集合｛2/1、2/2、2/3、2/4…｝
分子を3とする有理数の無限集合｛3/1、3/2、3/3、3/4…｝
分子を4とする有理数の無限集合｛4/1、4/2、4/3、4/4…｝
・・・
有理数の集合は、無限集合を無限個集めた集合すなわち可算集合×可算集合であることがわかる。
式に表すと×＝すなわち（alephzeroのアレフゼロ乗）＝
したがって、を加算・積算・乗算する限りでは、無限の濃度は変わらない。
ＮとＲの濃度
カントールの対角線論法を用いて、実数全体の集合Ｒが自然数全体の集合Ｎが同じ濃度ではないことを背理法的に証明することができる。※実数の集合Ｒとは、自然数・有理数・無理数・超越数を全て含む集合のこと。
まず、ある実数上にある区間を定める。※区間は実数上のどの区間でもいいし、10進数でなくてもいい。
この場合区間［0、1］＝（0≦ｘ≦1）を決め、下図のように仮に区間0以上1以下の全ての実数を列記できたと仮定する。
1番目＝0、00000147・・・
2番目＝0、23905090・・・
3番目＝0、5000000・・・・
集合Aの最大の要素以上の要素をAの上界という。∀a∈A、a≦ｘ
たとえば、実数Ｒ上の集合｛1、2、3｝の上界は3を含んでそれより大きい実数をいう。
逆に、集合Aの最小の要素以下の要素をAの下界という。
たとえば、実数Ｒ上の集合｛1、2、3｝の下界は1を含んでそれより小さい実数をいう。
上界を全て集めた集合の最小要素を上限（記号：sup）という。
下界を全て集めた集合の最大要素を下限（記号：inf）という。
たとえば、sup｛1、2、3｝＝3でありinf｛1、2、3｝＝1である。
また、上界が存在するとき上に有界であるといい、下界が存在するとき下に有界であるという。
ｄiam（A）＝sup｛ｄ（ｘ、ｙ）│ｘ、ｙ∈A｝である量ｄiam（A）のことをAの径という。
径はつまり「点同士の距離の上限」であり、直観的には「一番遠く離れた点同士の距離」に等しい。
たとえば一次元平面Ｒ上（１、3）の径は4であり、［ー１、4］の径は5である。
また二次元平面Ｒ2上のユークリッド距離でみると、下図の円Aの径diam（A）は2δである。
おれのかち
1−ｘをｔに置き換えてから ｘについての式に変形 ｘ＝１−ｔ ・・・①
ｘをｔで微分 ｄｘ/ｄｔ＝−１ ｄｘについての式に変形 ｄｘ＝−ｄｔ ・・・②
上記①②の等式「ｘ＝１−ｔ」と「ｄｘ＝−ｄｔ」を用いて、
∫ｘ（1−ｘ）5ｄｘ のｄｘを−ｄｔに置き換えると∫1−ｔ｛１−（1−ｔ）｝5−ｄｔ
−∫（1−ｔ）ｔ5ｄｔ＝−∫（ｔ5−ｔ6）
部分積分法
積の微分公式より
ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＝∫ｆ’（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＋∫ｆ（ｘ）ｇ’（ｘ）ｄｘ
式変形により、次の部分積分法の公式が得られる
∫ｆ（ｘ）ｇ’（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）−∫ｆ’（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ