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数学の話題総合スレッド

1 名前： Red cat★ 投稿日： 2004/08/11(水) 22:59

数学に関する話題は今度からこのスレにお願いします。

ちなみに、私は今位数 60 までの群の分類を試みており、
16 , 24 , 30 , 32 , 36 , 40 , 42 , 48 , 54 , 56 , 60
という難敵ばかりが残りました(T_T)。

尤も、S_6 に位数 30 の部分群がないことを言えれば、30 は
終わったも同然なんですが…。

2 名前： 我疑う故に存在する我 投稿日： 2004/08/12(木) 16:22

(i) 6 次対称群 S_6 に位数 30 の部分群はあるか ?
(ii) 位数 21 の非可換群 G の自己同型群 Aut(G) = ?

先ず(1)から。無い。
もしあったとしてそれを G とする。 G の元の位数は、
置換のタイプから見て、 1, 2. 3, 5, 6 の何れかだが、
位数 6 の元は奇置換だから G ∩ A_6 は位数 15 の群になるが、
これは巡回群だから、位数 15 の元を含む事になり矛盾。

G の 2，3，5 - Sylow 部分群の総数を a, b, c とすれば、
a は 15 の約数、
b は 10 の約数だから 1 又は 10.
c は 6 の約数だから 1 又は 6.

単位元以外の元の総数は

a + 2b + 4c = 29.

これより b = 1 又は c = 1 となるが、 c = 1 とすると
G の 5 - Sylow 部分群　H は G の正規部分群となり、
G/H は位数 3 の元を持つから、その元が H に自明に作用し、
G が位数 15 の元を持つ事になり不合理。

b = 1 も同様に不合理。よって矛盾。 G は存在しない。

3 名前： 我疑う故に存在する我 投稿日： 2004/08/12(木) 17:40

次に(2).
位数 21 の非可換群は、
G = ＜ a, b | a^7 = b^3 = 1, b^(-1)ab = a^2 ＞
と表されるから、自己同型 f は a, b の行く先で決まる。

G の位数 1 の元は、1.
位数 7 の元は、 a^1, i = 1, 2, ... 6,
位数 3 の元は a^j*b^k, j = 0, 1, 2, ... 6, k = 1, 2.
合計 21 個。

f (a) = a^i, f (b) = a^j*b^k, i, j, k は上の範囲、とすると、
f ( b^(-1)ab) = f (a^2) より、
b^(-k)*a^i*b^k = a^(2i),
i*2^k ≡ 2i (mod.7)

上の範囲での整数解は
(i, k) = (1, 1), (2, 1), (4, 1), j = 0, 1, .... , 6
の 21 個。よって |Aut(G)| ≦ 21

一方、 G の中心は自明だから、
G = Inn(G) ⊂ Aut(G).
よって、 Inn(G) = Aut(G).

4 名前： 我疑う故に存在する我 投稿日： 2004/08/12(木) 18:39

訂正。

上の範囲での整数解は
k = 1, i = 1, 2, ... , 6, j = 0, 1, .... , 6
の 42 個。

又これらの解によって、関係式が関係式に移り、
よって well-defined に 42 個の自己準同型が得られるが、
これらが全射である事は容易に分るから、全て自己同型。
よって Aut(G) は位数 42 の群。

5 名前： Red cat★ 投稿日： 2004/08/12(木) 19:46

>>2
＞位数 6 の元は奇置換だから G ∩ A_6 は位数 15 の群になる
位数 6 の元が奇置換になるのは良いのですが、位数 2 の偶置換が存在
するので、後半は結論できないと思うのですが ?

6 名前： 我疑う故に存在する我 投稿日： 2004/08/12(木) 21:20

>>5
疑問の内容が良く分かりませんが･･･

G/(G ∩ A_6) は S_6/A_6 の部分群。
従って位数 1 又は 2 だが、奇置換を含むので位数 2.
従って G ∩ A_6 の位数は 15.

7 名前： Red cat★ 投稿日： 2004/08/12(木) 21:40

>>6
なるほど。ボケておりました。いずれにせよ
> a + 2b + 4c = 29
から Sylow 3-部分群がただ一つ存在するか、Sylow 5-部分群がただ一つ
存在するかのいずれか一方が成り立ち、結局位数 15 の部分群(これは指
数 2 だから正規部分群)が存在することになってめでたく分類完了と相成
りました。

(ii) の方は少し考えてみます。

8 名前： 葵玲 投稿日： 2004/08/13(金) 10:38

こんにちは。書き込むのは2回目です。

以前2ちゃんねるの「群論の星」スレッドでも、24が難しいように書かれていたことがありますが、
16に比べたらずっと易しいと思います。
24が原理的には12とほぼ同様の方針で分類できると思うのです。
（といっても実際にやったわけではないのでうそかも。）
30はもっとやさしいような気がします。
位数15の部分群に着目するんだったような・・・。

僕も以前30までやろうと思ったことがありますが、
16はさすがに面倒でやる気がおきず、
32は確か同型類が51個くらいあってこれまたやる気がなくなってしまいました。

9 名前： 葵玲 投稿日： 2004/08/13(金) 10:43

30は
5-Sylow群が正規
位数15の巡回群を含む
半直積の分類
という感じでできると思います。

10 名前： Red cat★ 投稿日： 2004/08/14(土) 16:12

>>6
ボケついでに確認させてください。
>G/(G ∩ A_6) は S_6/A_6 の部分群。
>従って位数 1 又は 2 だが、奇置換を含むので位数 2.
G が奇置換を含むと言える理由は ?

11 名前： 我疑う故に存在する我 投稿日： 2004/08/15(日) 08:08

G が位数 6 の元を含む場合、という前提なので、
これは置換のタイプから見て奇置換だから、
G ∩ A_6 に属さない。

12 名前： Red cat★ 投稿日： 2004/08/15(日) 14:00

>>11
>G が位数 6 の元を含む場合、という前提
G が位数 6 の元を含まない場合はどうすればよいのでしょう ?

13 名前： 我疑う故に存在する我 投稿日： 2004/08/15(日) 14:10

>>12　そのとき、
G の元の位数は 1, 2, 3, 5 だから
a + 2b + 4c = 29

14 名前： Red cat★ 投稿日： 2004/08/15(日) 15:04

>>13
なるほど。完全に理解しました。

15 名前： 我疑う故に存在する我 投稿日： 2004/08/15(日) 17:57

数学レッスン(有料or無料)が必要。

16 名前： Red cat★ 投稿日： 2004/08/16(月) 06:30

>>3-4
(ii) も理解しました。おかげさまで位数 42 も終了。残るは
16 , 24 , 32 , 36 , 40 , 48 , 54 , 56 , 60
の九つです。16 , 24 あたりは、参考書も買い込んだのでそれらを見れば
何とかなりそう(というか答えが書いてある…)ですが…。

17 名前： 我疑う故に存在する我 投稿日： 2004/08/17(火) 14:09

40 はそれほどでも無かったよ。

18 名前： Red cat★ 投稿日： 2004/08/21(土) 00:12

16 の最後の 1 個で詰まった…。

19 名前： Red cat★ 投稿日： 2004/08/21(土) 03:42

位数 16、根性で完了。しかし、これでは先(= 位数 32)が思いやられる…。

20 名前： 我疑う故に存在する我 投稿日： 2004/08/21(土) 14:28

＞位数 24 の群 G が
10?分考えて分からなかったので暫くレス待ち。

21 名前： 我疑う故に存在する我 投稿日： 2004/08/21(土) 19:15

位数 24 の群 G が
(i) |Z(G)| = 2
(ii) G/Z(G) は A4 に同型
(iii) Z(G) は G の直積因子でない
を満たすとき、G は SL(2,3) に同型となるらしいのですが、取っ掛かりすらわかりません。どなたかヒントをいただけないでしょうか。
(数学愛好猫)


む、む、難しい･･･とりあえず分かった所まで
SL(2,3)が、(i), (ii), (ii) を満たすことは分かる。
SL(2,3)　は V_2 の（原点を通る）直線全体（4本ある）に作用し、自明に作用する部分群は
Z(SL(2,3)) だから、 SL(2,3)/Z(SL(2,3)) の S_4 への忠実表現が出来る。
これらから出る。

逆は群のコホモロジーを使えば出るには出るが･･･

22 名前： Red cat★ 投稿日： 2004/08/21(土) 19:47

群のコホモロジーでも何でもいいのでお願いします(T_T)(←泣いて懇願)。

23 名前： Red cat★ 投稿日： 2004/08/21(土) 20:01

ちょっとタイム。さっき、「中心拡大」という術語が頭をよぎりました。
少し自分で考えて見ます。

24 名前： Red cat★ 投稿日： 2004/08/21(土) 23:22

>>23
…と思ったが、やっぱりわからな〜い !!

25 名前： 我疑う故に存在する我 投稿日： 2004/08/22(日) 00:27

では又明日以降と言う事で。

26 名前： Red cat★ 投稿日： 2004/08/24(火) 01:40

位数 40 は何とかなりそう。位数 56 は… S_8 に位数 56 の部分群が存在
しなければいいのだけれど。

27 名前： Red cat★ 投稿日： 2004/08/25(水) 13:15

＞S_8 に位数 56 の部分群が存在しなければ
この件はクリアしたとして、GL(3,2) の位数 7 の元…地道に探す ?

28 名前： 我疑う故に存在する我 投稿日： 2004/08/30(月) 15:42

位数 60 迄の有限群の分類が完了したら、 32, 48 は後回しにするとしても、
よく整理して数学コーナーに上げてみてはいかがでしょうか?
有限群ファンサイトでも未だそこ迄はやっていないし、
自分の思考過程の備忘録にもなります。
私やほかの多くの人にも参考になると思います。

29 名前： Red cat★ 投稿日： 2004/08/30(月) 21:28

>>28
それはぜひやりたいと思います。

30 名前： のぼりん 投稿日： 2004/08/31(火) 23:29

今、帰宅したところです。ざっと一連の騒動を読んでみました。Red cat さんは、色々と労苦を払われ、本当にお疲れ様でした。昨晩は遅かったし、元々腰抜けなので、社員氏の言いがかりを無視して寝てしまいました。

もう、Red cat さんその他の皆さんが、私の言いたかったことを言って下さったので、追加すべきことは余りないのですが、私が元凶である以上、一言言うべきだと思い、この場をお借りします。

第一に、回答者は、質問者の水準に立って答えるべきだと思います。社員氏は、自分の知識を自慢するため、回答者にわざと判らない様な難しいことを持ち出しているとしか思えません。まあ、回答もボランティアなのですから、自慢したいのなら止めはしませんが、私にそれを付き合わせようとし、回答者にも自己満足な回答を強要しようとする態度は、幾ら管理者と言え良くないと思います。

第二に、なるべく難しい単語を使うべき、という主張には賛成できません。確かに我々が純英語ネイティブであれば、公式な文章で幼稚な表現ばかり使っていては、見下されるでしょう。でも我々は、所詮非ネイティブの外国人です。社員氏は、英語能力が自慢のようですが、正直、ネイティブに囲まれて英語を日常的に使った経験はないと思います。彼等だって、非ネイティブの外国人の場合、語彙に制約があることは十分に理解していますから、主張する内容が論理的で筋が通っていれば、難しい単語を知らなくても、別に馬鹿にしませんし、主張する内容次第で、十分に尊敬してくれます。これは、経験上断言できます。

それに、幾ら教養の高いネイティブが公式な文章を書くときであっても、難しい単語ばかりを並べようとする訳ではありません。これは、日本人が公式な文章を書くときと全く変わりありません。度を超せば、却って pedantic だと馬鹿にされます。質問の文章の場合、気取るべき公式文章とも思えませんし、仮に試験でなく現実の場で使うとしても、分かり易い表現の方が、歓迎されると考えます。こちらも、経験上断言できます。

第三に、高校レベルの英作文は、なるべく易しい単語で全てを表現した方が、得点が稼げます。もし、難しい単語を知っていたとしても、その用法を熟知していないのならば（名詞なら可算か非可算か、動詞なら自動詞か他動詞か、等）、熟知している方の単語を使った方が、正答率が上がるのは明らかです。質問者は、簡単な方の単語の使い方すら判っていないのだから、それを覚えて貰った方が遙かに質問者のためになります。

最後に、社員氏は、私の主張を曲解しています。私は、質問者にも十分理解できる単語を勧めましたが、社員氏の固執する難解単語を「使ってはダメだ」と一言もいっていません。私の勧める単語を使うべきでない、と言っているのは社員氏であり、全く私に対する言いがかりです。

確かに、英語の上達段階では、覚えた難しい表現を使いたくなるものです。それは、私も変わりありません。特に、英検一級程度の力になる頃には、そうでしょう。でも、それを過ぎるくらいから、通常は、何時も難解表現ばかり使っていると、却って馬鹿にされるのがわかってくるものです。社員氏も、さらに英語が上達してくれば、この様なことが判る時が来るでしょう。

31 名前： のぼりん 投稿日： 2004/09/01(水) 07:52

先程、↑を一部加筆・修正し、社員氏の掲示板にも書き込みました。
一種のマルチ・ポストですが、ご容赦下さい。

32 名前： hippo 投稿日： 2004/09/02(木) 00:23

繋がらなくなっちゃってるね・・・。
シャインさんの所。

33 名前： Red cat★ 投稿日： 2004/09/02(木) 03:43

>>30
厳密にはスレ違いですが、スレ違いは削除の対象ではないし、内容も
貴重なので生かしておきます。
＞第一
AxlRose さんが言っていましたが、「同じことを自分のサイトでやら
れたら、即刻削除＆アクセス禁止の対象にする」と仰っていました。
回答者にまで自分の意見を押し付けようとした態度は、私も怒り心頭
に達しました。それゆえ、敢えて横からコメントさせていただいた次
第です。
＞第二
本当のネイティブから見たとき、外国人が難しい単語を連発すると、
帰って「こいつはネイティブぶっている」と馬鹿にされる傾向にある
ようです。本当のネイティブは、限定された状況でしか使えない単語
には拘らないようです。
＞第三
私の経験上言えることですが、そのとおりだと思います。平易な単語
による表現をたくさん覚える方が、受験英語には有用です。限定され
た状況でしか使わない単語は、前後の文脈から意味が簡単に読み取れ
ます。

シャインさんの場合、なまじ英語が得意なばかりに、あのようなレス
を付けたがる傾向があるようですが、「教える」という観点からは、
英語が得意な人より、英語が苦手な人の方が、かえって教え方が上手
なものです。

>>31
当掲示板はマルチポストは制限しません(明らかに荒らし目的のマルチ
ポストなら別ですが)。お気になさらずどうぞ。

>>32
今は繋がるようになっていますよ。

34 名前： Red cat★ 投稿日： 2004/09/05(日) 14:17

有限群の同型類の分類作業進捗状況。残りは
32(同型類 51 個)
36(同型類 14 個)
40(同型類 14 個)
48(同型類 52 個)
54(同型類 15 個)
56(同型類 13 個)
60(同型類 13 個)

35 名前： 我疑う故に存在する我 投稿日： 2004/09/07(火) 11:02

>>34
そこまでの分類には何を使ったのですか。

Sylow の定理、半直積、置換と対称群に関する初等的事実、
（有限体上の）行列と線形群に関する基本的事実、
（これは必ずしも初等的とは言えないか・・・）
より初等的な個数の数え上げ等式、共軛分類、

あと
Kull-Remak-Schmidt の定理、
Schur-Zassenhauss の定理
も使って良いのなら大変便利だが・・・

表現論やコホモロジーも使えばもっと出来るだろう。

Feit-Thompson は勿論使えないだろうし・・・

有限群ファンサイトではどの様にやったのだろう
単純に信じて良い物だろうか・・・

Atlas Finite Group
でググッたら、
http://mathworld.wolfram.com/FiniteGroup.html
http://web.mat.bham.ac.uk/atlas/v2.0/info/ftp.html
等々色々出て来た。

勿論計算機は使っているのだろうな。
そうじゃないとこんな暇な事やってられない。

36 名前： Red cat★ 投稿日： 2004/09/07(火) 13:59

>>35
＞Sylow の定理、半直積、置換と対称群に関する初等的事実、
＞(有限体上の)行列と線形群に関する基本的事実
この辺は間違いなく使ってますね。あと、当然のことながら
有限 Abel 群の基本定理とか、p-群に関するいくつかの事実
なども使っています。

37 名前： Red cat★ 投稿日： 2004/09/09(木) 01:38

数学コーナーに短文を一つ up しました。以前結希さんのところで話題(?)
になったネタです(ぉ

38 名前： Red cat★ 投稿日： 2004/09/09(木) 17:39

有限群の同型類の分類作業進捗状況。残りは
32(同型類 51 個)
36(同型類 14 個)
48(同型類 52 個)
54(同型類 15 個)
56(同型類 13 個)
60(同型類 13 個)

40 はあっさりと決着。56 も、そう難しくはないだろう。問題は(32 と 48
は放置するとして) 54。結構面倒くさそう。

39 名前： Red cat★ 投稿日： 2004/09/09(木) 20:45

有限群の同型類の分類作業進捗状況。残りは
32(同型類 51 個)
36(同型類 14 個)
48(同型類 52 個)
54(同型類 15 個)
60(同型類 13 個)

56 も楽勝でした。くどいようだが 54 は意外に難敵かも。

40 名前： 我疑う故に存在する我 投稿日： 2004/09/10(金) 02:42

位数 p^3 (ｐ ： 奇素数) の非可換群の自己同形群に付いて。

この群は2種類あり、位数 p^2 の元を含むか含まないかで特徴付けられる。
まず (1) 含まない場合に付いて。この群 G は GL(3, p) の部分群で、
| 1 * * |
| 0 1 * |
| 0 0 1 | の形の元全体からなる物のなす部分群（に同形)である。
この群は交換子群と中心が一致し、 [G, G] = Z(G) =
| 1 0 * |
| 0 1 0 |
| 0 0 1 | となる。
又 G は
| 1 1 0 |　| 1 0 0 |
| 0 1 0 |　| 0 1 1 |
| 0 0 1 |, | 0 0 1 |の二元から生成され、
G を [G, G] = Z(G) で割った剰余群 H = G/[G, G] は、
F_p 上の 2 次元ベクトル空間。
[G, G] = Z(G) は G の特性部分群であるから、
Aut(G) の元は Aut(H) を導くが、これは全射。
なぜなら割ったところが中心だから。
この全射の核がどう言う具合になっているかというと、
上記生成元の行き先を mod. Z(G) で動かせばよいが、
これは中心だから自由に出来る。依って完全系列
1 → C_p×C_p → Aut(G) → G(2, p) → 1
を得る。

次に Aut(G) の共役類はというとまだ？

41 名前： 我疑う故に存在する我 投稿日： 2004/09/10(金) 11:32

と言っても位数2の元の共軛類でしたね。
結論だけ述べると、上記
Aut(G) → G(2, p)
は位数2の元全体の集合の全単射を導き、
しかも共軛類を保つ。

42 名前： 我疑う故に存在する我 投稿日： 2004/09/12(日) 17:54

Red cat さんに釣られて、有限群の分類問題、
位数 54 の群の分類などを考えて居るうちに
一つの予想が出てきた。

群 G, H 及び準同形 f ： G → Aut(H) が与えられたとき半直積が定義される。
f, g ： G → Aut(H) が共役ならばそれらによって作られた半直積は同形になる。
その逆は一般に成立しないが、

G, H が有限群で、且つ位数が互いに素

の時逆が成立するのではないか?
まだ根拠は余り無いが、専門家に会う機会があったら聞いてみようと思う。
これが成立すれば分類も大分楽になる。

43 名前： Red cat★ 投稿日： 2004/09/14(火) 02:15

有限群の同型類の分類作業進捗状況。残りは
32(同型類 51 個)
36(同型類 14 個)
48(同型類 52 個)
54(同型類 15 個)

当面は 36 と 54 を何とかできれば…。

44 名前： Red cat★ 投稿日： 2004/09/20(月) 16:27

有限群の同型類の分類作業進捗状況。残りは
32(同型類 51 個)
48(同型類 52 個)
54(同型類 15 個)

54…頑張ろう。

45 名前： Red cat★ 投稿日： 2004/09/20(月) 19:38

>>40
＞1 → C_p×C_p → Aut(G) → G(2, p) → 1
これ, 次のように考えることはできませんか ?
1 → Inn(G) → Aut(G) → Out(G) → 1 (exact)
で Inn(G) = G/Z(G) = C_p × C_p, Out(G) = Aut(G/Z(G)) = GL(2,p)

46 名前： Red cat★ 投稿日： 2004/09/20(月) 19:41

自己レス(というか補足).
＞Out(G) = Aut(G/Z(G))
は当然一般には成り立たないので、この場合に限り、という意味です。

47 名前： 我疑う故に存在する我 投稿日： 2004/09/20(月) 22:03

>>45
確かにそのようにいえますね。
>>40を認めるならばという前提で。

48 名前： ＜削除＞ 投稿日： ＜削除＞

＜削除＞

49 名前： Red cat★ 投稿日： 2004/09/20(月) 22:46

# 明らかに二重投稿と思われるため、48 を削除しました。
＞>>40を認めるならばという前提で
と言うことは
＞Out(G) = Aut(G/Z(G))
はたまたま成り立っているに過ぎない、と言うことですね。

50 名前： Red cat★ 投稿日： 2004/09/21(火) 01:46

「有限群ファンサイト」を見てみると、どうも位数が 2p^3 の群は 15 個の
同型類を持つようです。54 に特化しないで 2p^3 という形でまとめてみよ
うかな ?

51 名前： Red cat★ 投稿日： 2004/09/21(火) 19:17

>>40 は理解できましたが、>>41 は何故 ?

52 名前： 我疑う故に存在する我 投稿日： 2004/09/22(水) 00:42

>>51
別サイトに書いたように間違っていました。
位数 2 の元の集合の全射を導き、その共役類の全単射を導く
というのが正しい結果でした。

もう一つの群の群の自己同形群･･･面倒そうだなぁ･･･

53 名前： Red cat★ 投稿日： 2004/09/22(水) 21:18

有限群の同型類の分類作業進捗状況。残りは
32(同型類 51 個)
48(同型類 52 個)
54(同型類あと 3 個)

54 名前： のぼりん 投稿日： 2004/09/22(水) 23:59

最近、DS数学BBS・2 に、同一人物と思われる一握りの回答者が、ＨＮを変えて、同じ質問を繰り返ししてきていますね。彼等は、他サイトにも出没している様です。新手の荒らしではないかとお考えの方もいらっしゃいますが、個人的には、荒らすのであればもう少し楽で気の利いた方法を取るだろうと思います。もっとも、純粋な質問にしては、同じことを何度も聞く割には、どこが判らないのか明確化していないことから、普通の質問者とは随分違うのが気になります。質問は、大学初級程度の簡単なものばかりですが、質問者は、中学数学すら完全には理解していない感があります（あるいは、振りをしているのかも知れません）。私は、以前にお相手をして泥沼にはまったことがありますし、他の多くの回答者さんからのレスも、目に見えて減ってきています。彼等は、一体何を目的に、あの様な質問をしているのでしょう？

55 名前： S 投稿日： 2004/09/24(金) 16:34

いつもお世話になっています。

事情は良くは存じませんが、自分のことから想像しますに、
みなさんの良性の精神世界、優れた能力のある人々或いは高雅なセンスに
巡り会いたい、恵まれたいと足掻き或いは努力しているものと見てあげたら
どうでしょう。なんとか　high society　と接触していたい、脈絡を保ちたいと
思っていらっしゃるのだと思います。

56 名前： Red cat★ 投稿日： 2004/09/24(金) 23:19

有限群の同型類の分類作業進捗状況。残りは
32(同型類 51 個)
48(同型類 52 個)
54(同型類あと 1 個)

57 名前： Red cat★ 投稿日： 2004/09/25(土) 04:36

有限群の同型類の分類作業進捗状況。残りは
32(同型類 51 個)
48(同型類 52 個)

この二つは勘弁して。

58 名前： 我疑う故に存在する我 投稿日： 2004/10/22(金) 11:14

数学は終わりですか?

59 名前： Red cat★ 投稿日： 2004/10/31(日) 23:19

終わりませんよ＞>>58

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