「東大」「数学」「補完」 - 1081779039

216：あしぺた：2006/03/29(水) 23:45:54: ただし、自然数は1から始まるものとする
217：かかろっと＠超サイヤ人手前：2006/03/31(金) 18:19:57: 周期数列って何でしょうか。定義知らないもので
218：Je n'ai pas de nom!：2006/03/31(金) 22:27:24: 周期数列
a[n]=a[n+km] ,(k=1,2,3・・・)
219：かかろっと＠超サイヤ人：2006/04/01(土) 13:47:04: ありがとうございました。教えていただき感謝します
220：weapon ◆RRlBLdA0dk：2006/04/04(火) 01:06:07: もうだめぽ
221： ◆ZFABCDEYl.：2006/04/07(金) 00:47:05: >>220
ガンガレ！！
僕もなるべく数学を忘れないように更新します！！
いつまで続くかは不明ですが・・。
222： ◆ZFABCDEYl.：2006/04/07(金) 01:00:24: 一日一題スレの問題で，

次の性質を満たす最大の整数kを決定せよ。
(性質)：各自然数nに対し、少なくともk個の自然数が存在し、
それらはnより大きくn+17より小さく、いずれもn(n+17)と互いに素である。

という問題がありますが，n=16! とすれば k≦1 だと思うんだけど，
これだけで k=1 を答としてはダメでしょうか？
やっぱり，十分性についても証明しないとダメ？
223：Je n'ai pas de nom!：2006/04/07(金) 06:42:45: 「少なくともk個の自然数が存在し」と言う文言が常に「真」とならねばならない（つまり、nについての全称命題）だから、
十分性の証明は不可欠。
言い換えると
「各自然数nに対し、nより大きくn+17より小さく、いずれもn(n+17)と互いに素であるような自然数の個数をa[n]とすると、
　a[n]の最小値を求めよ。」
と同値。a[n]=0になるnの値を見つけられれば、それがそのまま十分性を持つが、a[n]=1ではダメ。
224： ◆ZFABCDEYl.：2006/04/07(金) 22:56:05: >>223
やっぱりそうですよね。ありがとうございました。
225： ◆ZFABCDEYl.：2006/04/15(土) 02:06:06: 質問スレで見つけたp進法の問題があるんですが，
こういう問題ってどうやって記述答案化すれば良いのでしょうか？
高校のとき，p進法の問題を記述答案化する技術を身に付けて
いなかったことに気づきました・・・。

問題を転記します。

p,nは自然数で、p≧2とする。
p^nより小さい自然数ｌ(エル)を
ｌ＝��[k=0,n-1]a_k・p^k （ただし、a_kは0≦a_k≦p－1をみたす整数）と表し、
S(l)=��[k=0,n-1]a_k とおく。このとき
(１)　　S(l)＋S(p^n－l) （ただし、１≦l≦p^n－１）の最小値
(２)　　(１)の最小値を与える自然数lを全て求めよ。
226： ◆ZFABCDEYl.：2006/04/15(土) 02:07:35: 答は多分，

(1) 最小値=p

(2) p^(n-1),2p^(n-1)，・・・・，(p-1)*p^(n-1)

となると思うんだけど，記述答案化できないんです。
227： ◆ZFABCDEYl.：2006/04/15(土) 02:11:29: p=10で実験すればすぐ気づくけど，要はp^nという数を
p-1 p-1 p-1 p-1 ・・・p-1 (p) + 1 (p)
とp進表記すれば，lはp新表記の最高位の数が1～p-1で残りは全部0
になればいいっていう感覚なんですが，これをうまく記述答案に
できないというか。
228： ◆ZFABCDEYl.：2006/04/15(土) 02:26:36: 記述式になると急激に難問化する問題ってたくさんあるけど，
p進法がそれの代表例じゃないかって思いました。

何ていうか最近急激に数学ができなくなっていることを実感しました。
本当に6年後には2次方程式も解けなくなりそう。
やっぱり数学は忘却率ナンバーワンじゃないだろうか。
229： ◆ZFABCDEYl.：2006/04/15(土) 08:12:06: >>227の訂正。
p^n=(p-1)p^(n-1) + p^(n-1) だから，
p^nをp進表記した2つのn桁の数の和で表わせば
p-1 p-1 p-1 ・・・p-1 (p) + 100・・・0 (p) でした。
というか，考え方だけp進法を使えばよい事に気づきました・・。
答案にはそれを記さなくても良かったというか。。
230：Je n'ai pas de nom!：2006/04/15(土) 08:46:31: え？問題の意味がわからん。

100=99+1
100=98+2
　　・
　　・
100=1+99

って考えたら、
S(l)+S(p^n+l)=(n-1)(p-1)+p
で常に一定になるんじゃないのか？
231：Je n'ai pas de nom!：2006/04/15(土) 08:48:21: S(l)+S(p^n-l)=(n-1)(p-1)+p
で常に一定になるんじゃないのか？
232：たま ◆U4RT2HgTis：2006/04/15(土) 11:36:35: >>231
1000=999+1
1000=998+2
・・・
1000=991+9
1000=990+10　ここ注目
1000=989+11
・・・
1000=901+99
1000=900+100　ここはもっと注目
1000=899+101
ってことで
233：たま ◆U4RT2HgTis：2006/04/15(土) 11:37:38: l＝��[k=0,n-1]a_k・p^k
p^n=��[k=0,n-1](p-1)・p^k+1を考慮して
p^n-l=Σ[k=0,n-1](p-1-a_k)・p^k+1
ここで、
A_0={l|a_0>0}
A_1={l|a_0=0,a_1>0}
・・・
A_r={l|a_i=0(i<r),a_r>0}
・・・
A_(n-1)={l|a_i=0(i<n-1),a_(n-1)>0}
とおくと、
∪[r=0,n-1]A_r={l|１≦l≦p^n－１}
l∈A_0とするとp-1-a_0<p-1よりのとき
p^n-l=(p-1-a_0+1)+Σ[k=1,n-1](p-1-a_k)・p^k
なので、
S(p^n-l)=(p-1-a_0+1)+Σ[k=1,n-1](p-1-a_k)
よって
S(l)+S(p^n-l)
=Σ[k=0,n-1]a_k+(p-1-a_0+1)+Σ[k=1,n-1](p-1-a_k)
=p+Σ[k=1,n-1](p-1)
=n(p-1)+1
同様にして、l∈A_rのとき
p-1-a_i=p-1(i<r)
p-1-a_k<p-1
なので
p^n-l=Σ[k=r,n-1](p-1-a_k)・p^k+Σ[k=0,r-1](p-1)・p^k+1
=Σ[k=r,n-1](p-1-a_k)・p^k+p^r
=(p-1-a_r+1)*p^r+Σ[k=r+1,n-1](p-1-a_k)・p^k
よって
S(l)+S(p^n-l)
=Σ[k=r,n-1]a_k+(p-1-a_r+1)+Σ[k=r+1,n-1](p-1-a_k)
=p+Σ[k=r+1,n-1](p-1)
=(n-r)(p-1)+1
よって、l∈A_(n-1)のときS(l)＋S(p^n－l)は最小になり最小値p
234：たま ◆U4RT2HgTis：2006/04/15(土) 11:41:12: こんな感じで書いたらいいと思うけど、いかにも大学生的な答案になってしまった。
受験の答案としてはどう書いたらいいのか微妙なところ。
235：Je n'ai pas de nom!：2006/04/15(土) 12:31:44: あ！そうか。
236： ◆ZFABCDEYl.：2006/04/15(土) 15:51:37: >>234
㌧です。この問題を記述式答案化できるようにするには
かなりの技術が必要だなと感じました。さすがたま氏・・。
237：Je n'ai pas de nom!：2006/04/17(月) 21:56:29: ３つの変曲点をもち、任意の直線と共有点をもつような連続かつ微分可能なグラフy=f(x)は、
最低、何本の共通接線が引けるか？
238：Je n'ai pas de nom!：2009/11/22(日) 15:20:27: 偶数の完全数の「一の位」は？（さくら教研の宿題）
239：ﾗﾒ：2009/11/22(日) 21:13:05: 未解決問題