「東大」「数学」「補完」 - 1081779039

136：こけこっこ：2004/08/30(月) 11:38: >>132
本スレは卒業というか中退しますた・・。
137：新田（しんでん）：2004/09/23(木) 09:24: >>136
そうでしたか。ここも引退されてしまうのではないかと思って、ちょっと
あなたのことを心配しました。
本スレは荒れていたり私の時間が取れなかったり色々なので、
私もあっちを中退しようか迷ってます
138：（DTxrDxh6）：2005/01/02(日) 01:54: ageとかないかんかな。そろそろこのスレも。
139：名無し研究員さん：2005/01/02(日) 11:26: ２ｃｈには次ｽﾚ立てないの？
140：臺地 （qpPuO9q2）：2005/04/13(水) 01:06:37: 微分方程式とモノドロミーという授業が開講されるそうです。

お話：古典的な2階常微分方程式。数学科の標準カリキュラムにはない
特徴：現代数学の様々な理論の源泉、解析と幾何の意外な結びつきの美しさ
前提とする知識：ベクトル空間とかの線形代数、一年生の解析学、複素関数論の初歩
　ただし「意欲次第ではとりあえず知識はなくてもいいかもしれない」とのこと
主な内容：冪級数、コーシー・コワレフスカヤの定理、確定特異点、基本群、モノドロミー群、
リーマン球面と一次分数変換、ガウスの超幾何方程式とシュワルツの理論

大学一年生に理解できる内容でしょうか？
141：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/04/13(水) 01:22:51: >>140
難しいと思う。
意欲しだいではってのが曲者で、
調べんなんことが山ほどでてくると思う。
一年の四月からムリして聞くことはないと思う。
142：臺地 （qpPuO9q2）：2005/04/13(水) 01:24:09: そうですか・・・じゃあやめておこうかな。
143：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/04/13(水) 01:25:35: >>142
単位を度外視して、聞くだけ聞いて、「あ、コリャアカン」とおもたら
撤退ってのも手だけど。
144：臺地 （qpPuO9q2）：2005/04/13(水) 01:28:45: 今日のガイダンスだけ聞いてみますね。
建物が数理研究科棟で、入るのが何となく怖いけどｗ
145：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/04/13(水) 01:35:51: べつにいいンダケドなんでこのスレにかいたんだろう。。
146：臺地 （qpPuO9q2）：2005/04/13(水) 01:44:26: いや特に理由はないですが何となく・・・
147：長助：2005/04/13(水) 02:01:56: >>140
久賀道郎「ガロアの夢」あたりを読んでみてはどうでしょうか？
予備知識はなくても楽しめた記憶があります。

組紐群、KZ方程式、量子群みたいな現代的なテーマとも関係深いですよ。
148：臺地 （qpPuO9q2）：2005/04/13(水) 23:13:59: 第一回の授業を聞いて参りました。板書が理解不能というレベルではなかったので
これからも聞こうと思います。まあ切ろうと思えばいつでも切れるし、気楽に。
今回は無限整級数の話でした。次回は微分方程式に入るらしい。

レジュメに掲げられていた参考図書
・解析学
解析入門1(小平邦彦著)
解析入門I(杉浦光夫著)
解析概論(高木貞治著)

・複素関数論
函数論・上巻(竹内端三著)
複素解析(小平邦彦著)
あともう一個英語のがあるけどやけに題名が長くてよくわからないので略

・その他
ガロアの夢(久賀道郎著)

>>147がジャストミートしてたわけです。さすが長助氏。
見かけたら立ち読みくらいはしてみます
149：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/04/13(水) 23:18:00: >>148
関数論の英語は
アールフォースでは？
150：臺地 （qpPuO9q2）：2005/04/13(水) 23:24:04: ちなみに解析の教科書は解析入門I(杉浦光夫著)
線形代数の教科書は線形代数学(長谷川浩司)
とのこと。難しそうですね

>>148
Lars Valerian Ahlfors, Complex Analysis:An Introduction to the Theory of Analytic
Functions of One Complex Variable.....とか書いてあります。
どれが人名でどれがほんの題名なのかもよくわかりませんでしたorz
151：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/04/13(水) 23:28:39: >>150
あ、アールフォース(L.V.Ahlfors)の
コンプレックス　アナリシス(Complex Analysis)ですね。
コロン以下は副題かな。
ぼくらはアールフォースとか
アールフォースのコンプレックスアナリシスって呼んでました。
三回目の二年生のとき友達と自主セミナーで読んだ。
152：臺地 （qpPuO9q2）：2005/04/13(水) 23:31:28: >>151
そうでしたか。中身も全部英語だと読むのきつそうですね
＞三回目の二年生
ん・・・・！？
153：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/04/13(水) 23:33:58: >>152
えと、ぼくは一浪六留です。

アールフォースはたしか最初のフィールズ・メダリストではなかったかな。
154：臺地 （qpPuO9q2）：2005/04/13(水) 23:38:09: >>153
初めて聞きますた・・・・（ﾋﾞｸｰﾘ
アールフォースさんて偉い人なんですね。
155：長助：2005/04/13(水) 23:43:55: >>148

久賀道郎以外はただ標準的な教科書を列挙しただけという感じですね。

ガウス－シュワルツ理論だったら、難波誠「複素関数三幕劇」なら予備知識なしで読めると思う。
昔、関数論も知らないときに読んだけど、なんとも壮大な話だと思いました。
156：臺地 （qpPuO9q2）：2005/04/13(水) 23:49:50: >>155
そのようにさらっとのたまうあたり、ホントすごいですね・・・
図書館にあるかどうか探してみます。
157：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/04/13(水) 23:52:12: >>155
久賀道郎のあの本っていまでも読み継がれてるんですね。
ちょっと驚きました。
158：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2005/04/14(木) 02:23:28: >>153
六竜って・・・何やったんだ一体
159：AM＠駒場図書館：2005/04/14(木) 20:54:00: お久しぶりで～す。
大学楽しいで～す。
以上で～す。
160：臺地 （qpPuO9q2）：2005/04/16(土) 01:55:56: ∇↑×(∇↑×E↑)=∇↑(∇↑・E↑)-∇↑＾2E↑
なんですかこれ？ベクトル解析？

>>153
失礼ながら>>158に同感。。

>>159
図書館から書きこんだのかいな。俺もやってみたい
161：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2005/04/16(土) 02:29:22: >>160
ベクトル演算の基本的な公式。
A×(B×C)＝(A・C)B-(A・B)CでA＝B＝∇にしただけ。
162：臺地 （qpPuO9q2）：2005/04/16(土) 10:50:58: >>161
あーそうなんですか。急にこんな感じの板書が始まったもんだから狼狽しました。

センター試験の結果が来ました。自己採点との比較は、
英語-0　数学-0　国語-4　理科-0　社会-3
微妙に減ってました・・・実は公民より地歴の成績の方がよかった罠
163：たま （RT2HgTis）：2005/04/16(土) 12:19:03: >>153
ﾅﾝﾄﾏｧ･･･

>>長助氏
はじめまして(･∀･)ﾉｼ
今年から輪読に参加してるものです。お見知りおきを。

Ｔ大面白そうだなぁ。
隣の芝は青いだけかなぁ。
164：臺地 （qpPuO9q2）：2005/04/16(土) 15:18:16: どんな大学に行こうと、やり方しだいで面白くなるんじゃないでしょうか。
「ものは考えよう」ですね。大学生だと夢にあふれている人が多いようです。
俺は楽しく楽に過ごせればいいや。
165：AM＠駒図：2005/04/16(土) 16:49:25: >>160
もしかしてあんたも相対論とってますか？ｗ
166：臺地 （qpPuO9q2）：2005/04/16(土) 17:10:59: どんぴしゃ
どこまでついていけるかはわかんないけどね。てか既についていけてない気もするけどね。
ところで何コマ埋めた？
167：たま （RT2HgTis）：2005/04/16(土) 17:56:10: >>164
京大も楽しいよ。夢にあふれた大学生が多いのかは甚だ疑問ですがｗ
一年のときクラス指定の科目が多くて、あんま趣味に走れなかったから、
「微分方程式とモノドロミー」とか「相対論」とか面白そうな授業取れていいなぁとちょっと思って。

>>165>>166
ﾆﾔﾐｽｷﾀ―――――ヽ（´ー`）ノ―――――!!!
168：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/04/16(土) 18:10:48: みなさんこんばんはー。
やることたまってるなー。
今はmm氏いうところの「サロンのマニアックなスレ」のあるレスを解読中でした。
集合位相スレもコメントを考慮中です。(ほぼおｋなんで、先に進んでくれてもｲｲﾖ。たまちゃん)
裏画像氏に「先がたのしみなので」って言われてるハイラーワナーも
ちょっとだけ原稿かいて、途中になってる。
まだ、あと二つばかり、９マン研究所関係でやんなきゃっておもうことためてる。

そういうの全部片付けてから一浪六留について説明しようと思ってます。。
(この説明が一番頭使わなくてらくなんだけど。。)
169：臺地 （qpPuO9q2）：2005/04/17(日) 02:41:27: >>167
＞京大も楽しいよ。
ほら、やっぱりｗ
＞夢にあふれた大学生が多いのかは甚だ疑問
表向きみんなうそぶいているけど心に秘めているもんがあるんだよね、みんな
＞面白そうな授業取れていいなぁ
取った半分以上の(おそらく)人が消えていくわけだが。

>>168
大変そうですが、ごゆっくりおねがいします
170：mm：2005/04/17(日) 21:54:19: いいなぁ、大学。
漏れは大学入れたら一日中白衣着て学内を奔走したいですぅ。
てかここは雑談すれpt2みたいな感じ。。
171：臺地 （qpPuO9q2）：2005/04/17(日) 22:21:49: >>170
大丈夫。必ず大学入れるよ！
たしかにこっちが雑談スレと化しつつあるね・・・向こうは問題投下してるし・・・立場逆転だ罠
入れ替えるか。
172：臺地 （qpPuO9q2）：2005/04/18(月) 23:44:26: では実際入れ替えてみる。
こっちに問題投下するのも変なんだよな・・・でも緑スレも問題残っているみたいだし、いいか。

aを実数定数とし、関数f(x)をf(x)=(a^2+1)x＾2-4axで定める。
すべての整数xに対してf(x)>-1となるaの値の範囲を求めよ。
173：mm：2005/04/19(火) 00:27:30: 雑談すれ>>719-720
i^(1/2)の指摘ありがとうございます。
これからは気をつけます。

書き込むのはここでよかったんですか？

>>172やってみます。
174：mm：2005/04/20(水) 17:19:32: 風邪ひいたっぽいです。頭痛い・・・
自習しないで帰宅です。
-2+√2<a<2-√2
2+√2<a
a<-2-√2
答案は後で書きます
175：臺地 （qpPuO9q2）：2005/04/20(水) 23:48:20: 正解でーす
97東大をやったことあれば簡単？
176：mm：2005/04/21(木) 06:57:26: おはようございます。昨日は予習終わって、ちょっと昼寝のつもりで寝たら
がっつり寝てしまった。。。

>>175
あの問題は難しいらしいのでパスしてましたｗ
177：mm：2005/04/21(木) 22:37:08: 解答その壱

f(x)=(a^2+1)x＾2-4ax
=(a^2+1)(x-2a/(a^2+1))^2-4a^2/(a^2+1)

g(x)=2x/(x^2+1)とおく。
g'(x)=2*(1-x^2)/(x^2+1)^2
より、g(x)はx=<-1で減少、-1<x<1でx=-1で増加、1=<xで減少。
x=-1で極小、x=1で極大となり、その値はg(-1)=-1,g(1)=1。
またg(x)→0(x→∞),g(x)→0(x→-∞)である。

ここでf(x)が最小となるxはg(a)との差分が最も小さくなるような整数となるときである。
g(a)は,-1=<g(a)=<1であるから、次のように場合わけされる。
1,-1=<g(a)=<-1/2
2,-1/2=<g(a)=<1/2
3,1/2=<g(a)=<1

■1のとき
-1=<g(a)=<-1/2 ⇔ -2-√3=<a=<-2+√3
このときf(x)は、x=-1で最小となる。
f(-1)=a^2+4a+1>-1 ⇔ a<-2-√2 ∨ -2+√2<a
よってこのとき条件を満たすaの値は、-2-√3=<a<-2-√2,-2+√2<a=<-2+√3

■2のとき
-1/2=<g(a)=<1/2 ⇔ -2+√3=<a=<2-√3 ∨ a=<-2-√3 ∨ 2+√3=<a
このときf(x)は、x=0で最小となる。
f(0)=0より、このとき条件を満たす値は-2+√3=<a=<2-√3 ∨ a=<-2-√3 ∨ 2+√3=<a

■3のとき
1/2=<g(a)=<1 ⇔ 2-√3=<a=<2+√3
このときf(x)は、x=1で最小となる。
f(1)=a^2-4a+1>-1 ⇔ a<2-√2 ∨ 2+√2<a
よってこのとき条件を満たすaの値は

以上1,2,3の場合を合わせると2-√3=<a<2-√2 ∨ 2+√2<a=<2+√3
a<-2-√2
-2+√2=<a=<2-√2
2+√2=<a

(終わり）
178：mm：2005/04/21(木) 22:38:21: ↑間違い、等号は無しです
179：mm：2005/04/21(木) 23:36:25: 解答その弐

f(x)=(a^2+1)x＾2-4ax
xが整数であるから
F(x)=f(x+1)-f(x)
　　=(a^2+1)(2x+1)-4a
　　=2(a^2+1)x+a^2-4a+1
とおく。
ここで、F(x)はxの一次式であり、a^2+1>0であることよりF(x)は単調に増加する。
x>=1のときF(x)>=F(1)=3a^2-4a+3=3(a-2/3)^2+5/3>0
x=<-2のときF(x)=<F(-2)=-3a^2-4-3=-3(a+2/3)^2-5/3<0
よって
f(1)<f(2)<・・・
・・・>f(-2)>f(-1)
である。

■1,F(0)=<0のとき(2-√3=<a=<2+√3)
f(x)はx=1で最小。このときf(1)=a^2-4a+1>-1 ⇔ a<2-√2 ∨ 2+√2<a
よって条件を満たすaの範囲は2-√3=<a<2-√2 ∨ 2+√2<a=<2+√3

■2,F(0)>=0のとき(a=<2-√3,2+√3=<a)
　□ア,F(-1)=-a^2-4a-1>=0のとき(-2-√3=<a=<-2+√3)
　f(x)はx=-1で最小。このときf(-1)=a^2+4a+1>-1 ⇔ a<-2-√2 ∨ -2+√2<a
　よって条件を満たすaの範囲は-2-√3=<a<-2-√2 ∨ -2+√2<a=<-2+√3

　□イ,F(-1)=<0のとき(a=<-2-√3,-2+√3=<a)
　f(x)はx=0で最小。このときf(0)=0
　よって条件を満たすaの範囲はa=<-2-√3 ∨ -2+√3=<a=<2-√3 ∨ 2+√3=<a

よってこれらをまとめると
-2+√2<a<2-√2
2+√2<a
a<-2-√2

(終わり)
180：臺地 （qpPuO9q2）：2005/04/21(木) 23:46:35: >>177
頂点のx座標が動ける範囲が限られているため、有限個の整数xでf(x)<-1を解けばよい、
という方針ですね。オッケーです。以下は俺が感じた印象ですがあくまで個人的なもの
ですので参考にしなくてもいいです。

・7行目まではx∈R、以降はx∈Zですね。明記したほうがいいと思います。
問題文にもx∈Rは書いてないですけど・・・。
でも読み返したとき、
＞f(x)が最小となるxはg(a)との差分が最も小さくなるような整数となるときである。
を見て自分で混乱しないためにも。

・＞よってこのとき条件を満たすaの値は
＞以上1,2,3の場合を合わせると2-√3=<a<2-√2 ∨ 2+√2<a=<2+√3
「よってこのとき条件を満たすaの値は2-√3=<a<2-√2 ∨ 2+√2<a=<2+√3。
以上1,2,3の場合を合わせると」のタイプミス？

・実はg(a)の値で場合分けする必要はありません。
問題の条件⇔min{f(x)}_x∈Z>-1⇔min{f(x)}_x∈{-1,0,1}>-1
⇔f(-1)>-1∧f(0)>-1∧f(1)>-1から一発で答えが求まります。

>>179
うほ。二個目ですか。今から読ませていただきます・・
181：mm：2005/04/22(金) 00:00:31: こんばんは。すばやいレス有難う御座います
＞・7行目まではx∈R、以降はx∈Zですね。明記したほうがいいと思います。
了解しました
＞・＞よってこのとき条件を満たすaの値は～タイプミス？
見直しが甘かったようです労力をかけさせてすんませんm(_ _)m
仰せのとおりのつもりで書きました
＞・実はg(a)の値で場合分けする必要はありません。
Umm..確かにそうですね。問題を解き始める前に気づきたかった。＿|￣|○

＞「うほ」以下
よろしくお願いいたします
182：臺地 （qpPuO9q2）：2005/04/22(金) 00:08:58: >>179
なるほど。独立試行の確率の最大最小問題で見る方法の応用って感じですね。納得です。
ただ、この問題の場合は、180でも言ったように、
＞f(1)<f(2)<・・・
＞・・・>f(-2)>f(-1)
から、f(1)とf(-1)とf(0)だけ考えればよい！(f(0)=0>-1より0は速攻で除外可能)
としてしまった方が早いんですね・・・
183：臺地 （qpPuO9q2）：2005/04/22(金) 00:14:52: うーむ
やっぱりこちらに問題投下するのは微妙ですね。。2スレに分割されちゃうし・・・
というわけで以後緑スレに戻ったほうが(・∀・)ｲｲ!!かも
184：mm：2005/04/22(金) 00:15:55: >>182
いわれると当たり前のように聞こえますねぇ。
半分以上が無駄でできている恥ずかしい解答です。頭が固くて途中で全体を眺めることが
できてないのかも。。。精進せねば。
185：mm：2005/04/22(金) 00:16:55: >>183了解です
「高校範囲を逸脱」にも当たりませんしね
186：臺地 （qpPuO9q2）：2005/04/22(金) 00:22:15: というわけで関連題(？)を向こうに投下しておきますね。よければどうぞ。
187：Мечислав(☆9) ◆QRDTxrDxh6：2005/07/25(月) 20:33:39: 皆さんｵﾋｻｼﾌﾞﾘでございます。
RSKTTMさん。ﾊｼﾞﾒﾏｼﾃ!よろすく。
そういえばこの板、問題投下スレ(とくに大学の範囲の)がありませんね。
ちょっと思いついたんでここに投下。RSKTTMさんもよかったらﾄﾞｿﾞ。

まず、集合Xの部分集合Aに対してX上の実数値関数χ(x;A)を,
x∈Aのときχ(x;A)=1,￢(x∈A)のときχ(x;A)=0と定義します。
(χ(x;A)をAの定義関数といいます。)

このときXの部分集合系{A_n}⊂Xに対して
χ(x;limsup A_n)=limusupχ(x;A_n)を示してください。

limsup A_n=∩[n=1,∞]∪[k=n,∞]A_k,
実数列{a_n}に対して,limsup a_n=inf[n≧1]sup[k≧n]a_k
です。
188：たま ◆U4RT2HgTis：2005/07/25(月) 22:10:26: >>187
x∈limsup A_n ⇔ limsupχ(x;A_n)=1を示せばよい。
<proof>
x∈limsup A_n
⇔x∈∩[n=1,∞]∪[k=n,∞]A_k
⇔∀n∈N;x∈∪[k=n,∞]A_k
⇔∀n∈N;∃k≧n;x∈A_k
⇔∀n∈N;∃k≧n;χ(x;A_k)=1
⇔∀n∈N;sup[k=n,∞]χ(x;A_k)=1 (∵χ(x;A_k)=0or1)
⇔inf[n≧1]sup[k≧n]χ(x;A_k)=1
⇔limsupχ(x;A_n)=1

式変形しただけだけども、どうでしょ？
189：Мечислав(☆9) ◆QRDTxrDxh6：2005/07/26(火) 15:14:45: >>188
おｋです。

要するにχ(x;∪A_n)=sup{χ(x;A_n)}とχ(x;∩A_n)=inf{χ(x;A_n)}
を示すだけですね。
190：たま ◆U4RT2HgTis：2005/08/09(火) 00:28:30: >>189
そですね。188はちょっと手を抜いたんでためしに、
χ(x;∪A_n)=sup{χ(x;A_n)}の証明をちょっと丁寧に証明かいてみます。
χ(x;A_n)=1 or 0 よりsup{χ(x;A_n)}=1 or 0であることに注意すると、
χ(x;∪A_n)=1⇔sup{χ(x;A_n)}=1が示せれば、対偶を取って
χ(x;∪A_n)=0⇔sup{χ(x;A_n)}=0がいえるので、これよりχ(x;∪A_n)=sup{χ(x;A_n)}が
示せることがわかります。ので、χ(x;∪A_n)=1⇔sup{χ(x;A_n)}=1を示します。
χ(x;∪A_n)=1⇔x∈∪A_n⇔∃n∈N;x∈A_n⇔∃n∈N;χ(x;A_n)=1なので、
∃n∈N;χ(x;A_n)=1⇔sup{χ(x;A_n)}=1がいえればおっけーです。
ここで、∀k∈N;χ(k;A_k)=1 or 0 より、∀k∈N;χ(k;A_k)≦1なので
∃n∈N;χ(x;A_n)=1⇒supχ(x;A_n)=1
また、supχ(x;A_n)=1のとき∃n∈N;χ(x;A_n)=1でないと仮定すると、
∀n∈N;χ(x;A_n)≠1すなわち∀n∈N;χ(x;A_n)=0となるので
supχ(x;A_n)=0となり矛盾。従って、supχ(x;A_n)=1⇒∃n∈N;χ(x;A_n)=1です。
これより、∃n∈N;χ(x;A_n)=1⇔sup{χ(x;A_n)}=1が成り立ちます。
以上より、χ(x;∪A_n)=1⇔sup{χ(x;A_n)}=1となります。

χ(x;∩A_n)=inf{χ(x;A_n)}も同じように示せて、この二つを用いたら、
χ(x;limsup A_n)=limusupχ(x;A_n)も示せるって感じですね。
191：Мечислав(☆9) ◆QRDTxrDxh6：2005/08/09(火) 09:32:18: >>190
はい。どもー。補足乙ですた。
このスレ今後、問題投下スレにしようか。
受験生も大学生もいるから、大学受験用、大学生用共用の。
192：Мечислав(☆9) ◆QRDTxrDxh6：2005/08/09(火) 19:34:27: ええっと。
解析概論スレをみてて投下を思い立ちました。
受験生にも挑戦可能な問題。

1.　(1)　5/7を二進展開してください。
　　(2)　すべての有理数は,二進展開すると循環二進数で書けることを証明してください。
2..　(1)　a,b,が実数のとき,三角不等式|a+b|≦|a|+|b|を示してください.
　　(2)　2n個の実数a_1,a_2,…,a_n,b_1,b_2…,b_nに対して,いわゆるシュワルツの不等式
　　　　　(a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)^2≦((a_1)^2+(a_2)^2+…+(a_n)^2)((b_1)^2+(b_2)^2+…+(b_n)^2)
　　　　が成り立つことを示せ.
　　(3)　P(x_1,x_2,…,x_n),Q(y_1,y_2,…,y_n),R(z_1,z_2,…,z_n)に対して
　　　　　PQ+QR≧PRが成り立つことを示せ.
　　　　　ただしP,Qに対して二点間P,Qの距離PQは次で定義される.
　　　　　PQ=√((y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2+…+(y_n-x_n)^2)

皆さんの挑戦をお待ちしております。
193：mm：2005/08/11(木) 21:34:52: 2.
(1)両辺とも正であるので、(右辺)^2-(左辺)^2を計算すると
|a|^2+2|a||b|+|b|^2-|a^2+2ab+b^2|
≧0(等号成立はab≧0のとき)
(2)a↑を(a_1,a_2,…,a_n)を成分に持つn次ベクトル
b↑を(b_1,b_2,…,b_n)を成分に持つn次ベクトルとする。
左辺=(a↑・b↑)^2≦|a|^2|b|^2=右辺
(3)PQ=√((y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2+…+(y_n-x_n)^2)
QR=√((y_1-z_1)^2+(y_2-z_2)^2+…+(y_n-z_n)^2)
PR=√((z_1-x_1)^2+(z_2-x_2)^2+…+(z_n-x_n)^2)
PQ+QR≧PR
⇔PQ^2+QR^2+2PQ*QR≧PR^2
⇔2PQ*QR≧PR^2-PQ^2-QR^2…(★)
以下★について考える
a_n=x_n-y_n,b_n=y_n-z_nとすると
PQ^2=��(a_k)^2
QR^2=��(b_k)^2
PR^2=��(a_k+b_k)^2
右辺=2��(a_kb_k)
(左辺)^2-(右辺)^2=4��(a_k)^2��(b_k)^2-4(��(a_kb_k))^2
=4(��(a_k)^2��(b_k)^2-(��(a_kb_k))^2)
≧0(∵(2))

洗礼されないなぁ
194：Мечислав(☆9) ◆QRDTxrDxh6：2005/08/11(木) 23:07:21: >>193
えー。解答ありが㌧。
(1)はおｋです。
(3)もおｋです。
(2)ですが、これはまあ
「(a↑・b↑)^2≦|a|^2|b|^2｣
を示してくださいっていう問題なので。。
195：mm：2005/08/12(金) 13:15:20: コピペ駆使ｗ

(��[i=1,k](a_ib_i))^2≦(��[i=1,k](a_i)^2)(��[i=1,k](b_i)^2)
とすると
(��[i=1,k+1](a_ib_i))^2
=(��[i=1,k+1](a_i)^2)(��[i=1,k+1](b_i)^2)+2a_(k+1)b_(k+1)��[i=1,k](a_ib_i)-(a_(k+1))^2��[i=1,k](b_i)^2-(b_(k+1))^2��[i=1,k](a_i)^2
=(��[i=1,k+1](a_i)^2)(��[i=1,k+1](b_i)^2)-��[i=1,k](a_(k+1)b_i-a_ib_(k+1))^2
≦(��[i=1,k+1](a_i)^2)(��[i=1,k+1](b_i)^2)
以上より、n=kで成り立つときn=k+1でも成り立つ
n=1のとき右辺-左辺は0であり成立
したがって帰納的に、全ての自然数nについて成立する
196：Je n'ai pas de nom!：2005/08/13(土) 02:33:06: >>195
えー。
(��[i=1,k+1](a_ib_i))^2
=(��[i=1,k+1](a_i)^2)(��[i=1,k+1](b_i)^2)+2a_(k+1)b_(k+1)��[i=1,k](a_ib_i)-(a_(k+1))^2��[i=1,k](b_i)^2-(b_(k+1))^2��[i=1,k](a_i)^2
は
(��[i=1,k+1](a_ib_i))^2
≦(��[i=1,k+1](a_i)^2)(��[i=1,k+1](b_i)^2)+2a_(k+1)b_(k+1)��[i=1,k](a_ib_i)-(a_(k+1))^2��[i=1,k](b_i)^2-(b_(k+1))^2��[i=1,k](a_i)^2
では？
それで、おｋですね。

以下、読みにくいのでベクトルの↑は省略させてください。
a・bはaとbの内積のつもりです。

すべての実数tで
0≦|at-b|^2=|a|^2t^2-2a・b+|b|^2
だから(a・b)^2-|a|^2|b|^2≦0

というのも有名ですので。
(ご存知かと思いますが)
197：Мечислав(☆9) ◆QRDTxrDxh6：2005/08/13(土) 02:33:45: ↑名前付け忘れ。
198：mm：2005/08/16(火) 14:23:23: >>196
≦ですね。ﾏﾁｶﾞｲﾀﾖ
199：Je n'ai pas de nom!：2005/08/20(土) 01:41:40: Σ(a[i]t+b[i])^2=0の判別式を駆使した方法もありますね。
200：Je n'ai pas de nom!：2005/08/20(土) 01:42:18: あ、書かれてた。すまそ
201：Мечислав(☆10) ◆QRDTxrDxh6：2005/09/02(金) 03:50:24: えー。受験生に向けた問題を本スレに投下しておきました。
mmくんをはじめとする受験生の皆さんの挑戦を待っています。
本スレのURLは>>3にあります。
202：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2005/09/02(金) 10:59:22: ああ、別館ver7.52のことですね。
203：Мечислав(☆10) ◆QRDTxrDxh6：2005/09/02(金) 11:00:48: >>202
へへ。本スレ、実はまだ存続してたことに気づきましてね。
204：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2005/09/02(金) 11:17:50: 便乗してみますた
205：weapon ◆RRlBLdA0dk：2005/09/03(土) 14:17:40: 見れませんが
206：mm：2005/09/03(土) 21:23:52: ぴに改名しますた

臺地さんのほうも書き込もうとしたら、
キャップ使用方を確認してください.
とか出るんですけど?
207：ぴ：2005/09/03(土) 21:27:07: あれ、書けた。なんだったんだろう?
>>205見れますよ
http://park6.wakwak.com/~sarumaru/hogehoge/gakusei/index.htmlからはどうです？
208：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2005/09/04(日) 01:22:31: 別館は携帯からだと見れなかったんだっけ・・・？
＞mm改めぴ氏へ
はーいおｋでーす。
気が向いたときに投下するんでよろしく
209：Мечислав(☆10) ◆QRDTxrDxh6：2005/09/04(日) 02:03:42: >>206
講評かきましたよ～。
210：Мечислав(☆10) ◆QRDTxrDxh6：2005/09/04(日) 02:05:57: >>208
別館は携帯から読みも書きもできますよ。
211：Мечислав(☆11) ◆QRDTxrDxh6：2005/11/14(月) 10:38:27: とうとう、というか、いつのまにか別館閉鎖の模様。
212：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2005/11/14(月) 23:55:54: なんと・・・
214：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/03/21(火) 23:25:47: 受験生も来たようなので虫干しage
215：Je n'ai pas de nom!：2006/03/29(水) 23:04:21: a_k=sink(kは自然数)とするとき、
(1)この数列は周期数列でないことを示せ。
(2)この数列の項は無理数となることを示せ。
216：あしぺた：2006/03/29(水) 23:45:54: ただし、自然数は1から始まるものとする
217：かかろっと＠超サイヤ人手前：2006/03/31(金) 18:19:57: 周期数列って何でしょうか。定義知らないもので
218：Je n'ai pas de nom!：2006/03/31(金) 22:27:24: 周期数列
a[n]=a[n+km] ,(k=1,2,3・・・)
219：かかろっと＠超サイヤ人：2006/04/01(土) 13:47:04: ありがとうございました。教えていただき感謝します
220：weapon ◆RRlBLdA0dk：2006/04/04(火) 01:06:07: もうだめぽ
221： ◆ZFABCDEYl.：2006/04/07(金) 00:47:05: >>220
ガンガレ！！
僕もなるべく数学を忘れないように更新します！！
いつまで続くかは不明ですが・・。
222： ◆ZFABCDEYl.：2006/04/07(金) 01:00:24: 一日一題スレの問題で，

次の性質を満たす最大の整数kを決定せよ。
(性質)：各自然数nに対し、少なくともk個の自然数が存在し、
それらはnより大きくn+17より小さく、いずれもn(n+17)と互いに素である。

という問題がありますが，n=16! とすれば k≦1 だと思うんだけど，
これだけで k=1 を答としてはダメでしょうか？
やっぱり，十分性についても証明しないとダメ？
223：Je n'ai pas de nom!：2006/04/07(金) 06:42:45: 「少なくともk個の自然数が存在し」と言う文言が常に「真」とならねばならない（つまり、nについての全称命題）だから、
十分性の証明は不可欠。
言い換えると
「各自然数nに対し、nより大きくn+17より小さく、いずれもn(n+17)と互いに素であるような自然数の個数をa[n]とすると、
　a[n]の最小値を求めよ。」
と同値。a[n]=0になるnの値を見つけられれば、それがそのまま十分性を持つが、a[n]=1ではダメ。
224： ◆ZFABCDEYl.：2006/04/07(金) 22:56:05: >>223
やっぱりそうですよね。ありがとうございました。
225： ◆ZFABCDEYl.：2006/04/15(土) 02:06:06: 質問スレで見つけたp進法の問題があるんですが，
こういう問題ってどうやって記述答案化すれば良いのでしょうか？
高校のとき，p進法の問題を記述答案化する技術を身に付けて
いなかったことに気づきました・・・。

問題を転記します。

p,nは自然数で、p≧2とする。
p^nより小さい自然数ｌ(エル)を
ｌ＝��[k=0,n-1]a_k・p^k （ただし、a_kは0≦a_k≦p－1をみたす整数）と表し、
S(l)=��[k=0,n-1]a_k とおく。このとき
(１)　　S(l)＋S(p^n－l) （ただし、１≦l≦p^n－１）の最小値
(２)　　(１)の最小値を与える自然数lを全て求めよ。
226： ◆ZFABCDEYl.：2006/04/15(土) 02:07:35: 答は多分，

(1) 最小値=p

(2) p^(n-1),2p^(n-1)，・・・・，(p-1)*p^(n-1)

となると思うんだけど，記述答案化できないんです。
227： ◆ZFABCDEYl.：2006/04/15(土) 02:11:29: p=10で実験すればすぐ気づくけど，要はp^nという数を
p-1 p-1 p-1 p-1 ・・・p-1 (p) + 1 (p)
とp進表記すれば，lはp新表記の最高位の数が1～p-1で残りは全部0
になればいいっていう感覚なんですが，これをうまく記述答案に
できないというか。
228： ◆ZFABCDEYl.：2006/04/15(土) 02:26:36: 記述式になると急激に難問化する問題ってたくさんあるけど，
p進法がそれの代表例じゃないかって思いました。

何ていうか最近急激に数学ができなくなっていることを実感しました。
本当に6年後には2次方程式も解けなくなりそう。
やっぱり数学は忘却率ナンバーワンじゃないだろうか。
229： ◆ZFABCDEYl.：2006/04/15(土) 08:12:06: >>227の訂正。
p^n=(p-1)p^(n-1) + p^(n-1) だから，
p^nをp進表記した2つのn桁の数の和で表わせば
p-1 p-1 p-1 ・・・p-1 (p) + 100・・・0 (p) でした。
というか，考え方だけp進法を使えばよい事に気づきました・・。
答案にはそれを記さなくても良かったというか。。
230：Je n'ai pas de nom!：2006/04/15(土) 08:46:31: え？問題の意味がわからん。

100=99+1
100=98+2
　　・
　　・
100=1+99

って考えたら、
S(l)+S(p^n+l)=(n-1)(p-1)+p
で常に一定になるんじゃないのか？
231：Je n'ai pas de nom!：2006/04/15(土) 08:48:21: S(l)+S(p^n-l)=(n-1)(p-1)+p
で常に一定になるんじゃないのか？
232：たま ◆U4RT2HgTis：2006/04/15(土) 11:36:35: >>231
1000=999+1
1000=998+2
・・・
1000=991+9
1000=990+10　ここ注目
1000=989+11
・・・
1000=901+99
1000=900+100　ここはもっと注目
1000=899+101
ってことで
233：たま ◆U4RT2HgTis：2006/04/15(土) 11:37:38: l＝��[k=0,n-1]a_k・p^k
p^n=��[k=0,n-1](p-1)・p^k+1を考慮して
p^n-l=Σ[k=0,n-1](p-1-a_k)・p^k+1
ここで、
A_0={l|a_0>0}
A_1={l|a_0=0,a_1>0}
・・・
A_r={l|a_i=0(i<r),a_r>0}
・・・
A_(n-1)={l|a_i=0(i<n-1),a_(n-1)>0}
とおくと、
∪[r=0,n-1]A_r={l|１≦l≦p^n－１}
l∈A_0とするとp-1-a_0<p-1よりのとき
p^n-l=(p-1-a_0+1)+Σ[k=1,n-1](p-1-a_k)・p^k
なので、
S(p^n-l)=(p-1-a_0+1)+Σ[k=1,n-1](p-1-a_k)
よって
S(l)+S(p^n-l)
=Σ[k=0,n-1]a_k+(p-1-a_0+1)+Σ[k=1,n-1](p-1-a_k)
=p+Σ[k=1,n-1](p-1)
=n(p-1)+1
同様にして、l∈A_rのとき
p-1-a_i=p-1(i<r)
p-1-a_k<p-1
なので
p^n-l=Σ[k=r,n-1](p-1-a_k)・p^k+Σ[k=0,r-1](p-1)・p^k+1
=Σ[k=r,n-1](p-1-a_k)・p^k+p^r
=(p-1-a_r+1)*p^r+Σ[k=r+1,n-1](p-1-a_k)・p^k
よって
S(l)+S(p^n-l)
=Σ[k=r,n-1]a_k+(p-1-a_r+1)+Σ[k=r+1,n-1](p-1-a_k)
=p+Σ[k=r+1,n-1](p-1)
=(n-r)(p-1)+1
よって、l∈A_(n-1)のときS(l)＋S(p^n－l)は最小になり最小値p
234：たま ◆U4RT2HgTis：2006/04/15(土) 11:41:12: こんな感じで書いたらいいと思うけど、いかにも大学生的な答案になってしまった。
受験の答案としてはどう書いたらいいのか微妙なところ。
235：Je n'ai pas de nom!：2006/04/15(土) 12:31:44: あ！そうか。