２次試験　解答速報

1：図書館の名無しさん：2010/02/27(土) 11:44:16 ID:LoM2FXXo0: どうも。センター換算３００点です。

数学　大問１
(1)
f(x)=-x+c
g(x)=-x2乗+2x+3

f(x)は、g(x)の接線なので、接点を持つ。
接点では、
g(x)=f(x)
g(x)-f(x)=-x2乗+2x+3+x-c
=-x2乗+3x+3-c=0
接点のx座標で重解を持つから、
D=9-4*(-1)*(3-c)=0
=9+12-4c=0
=21-4c=0

∴c=21/4

(2)
f(x)は、g(x)の接線なので、接点のx座標を求める。
g(x)=f(x)
g(x)-f(x)=-x2乗+3x+3-c=0
c=21/4より、g(x)-f(x)=-x2乗+3x+3-21/4=0
=-x2乗+3x-9/4=0
-4x2乗+12x-9=0
(2x-3)2乗=0 x=3/2（重解）

放物線と接線とY軸で囲まれた面積では、次の公式が成り立つので、
放物線Y=Ax2乗+Bx+C
L= Y軸から重解までの距離
求める面積は、S=1/3*|A|*L3乗　

g(x)=-x2乗+2x+3の時、A=-1
L=3/2

S=1/3*|-1|*(3/2)3乗
=1/2*9/4=9/8

∴S=9/8
2：図書館の名無しさん：2010/02/27(土) 11:44:54 ID:LoM2FXXo0: 　
無断コピペすみません。
3：図書館の名無しさん：2010/02/27(土) 11:45:43 ID:LoM2FXXo0: 大問２３４５　はわかりませんでした。
4：図書館の名無しさん：2010/02/27(土) 13:49:25 ID:???0: 他のスレに書けよ・・・
なんでわざわざスレ立てするの？
したらばに負担かかるんだからかんがえろよ
5：図書館の名無しさん：2010/02/27(土) 14:07:03 ID:LoM2FXXo0: だな。
6：図書館の名無しさん：2010/02/27(土) 14:13:35 ID:???0: >>5
おまえだよ
7：図書館の名無しさん：2010/02/27(土) 20:52:29 ID:LoM2FXXo0: ごめん
8：図書館の名無しさん：2010/02/27(土) 21:08:00 ID:7cMoiXZA0: 数学　大問３
(2)
(1-an+1)(1+2an)=1
(1-an+1)=1/(1+2an)
-an+1=1/(1+2an)-1
-an+1=(1-1-2an)/(1+2an)
-an+1=(-2an)/(1+2an)
an+1=2an/(1+2an)
ここで、両辺の逆数を取る。
1/an+1=(1+2an)/2an
1/an+1=1/2an+1

bn=1/anだから、

∴bn+1=1/2bn+1

(3)
(2)より
bn+1=1/2bn+1
を変形して、
bn+1 - 2=1/2(bn - 2)

ここで、具体的に書いていく
bn+1 - 2=1/2(bn - 2)
bn - 2=1/2(bn-1 - 2)
bn-1 - 2=1/2(bn-2 - 2)
..................

b3 - 2=1/2(b2 - 2)
b2 - 2=1/2(b1 - 2)

これら両辺を左右それぞれ掛け合わせると、左辺右辺に同じ項が発生し、約分されるため、

bn+1 - 2=(1/2)n乗(b1 - 2)
b1=1/a1=3より
bn+1 =(1/2)n乗(3 - 2)+ 2
bn+1 =(1/2)n乗+ 2
bn =(1/2)n-1乗+ 2
bn=1/anだから、
1/an =(1/2)n-1乗+ 2

∴an =1/{(1/2)n-1乗+ 2}
9：図書館の名無しさん：2010/02/27(土) 21:09:35 ID:7cMoiXZA0: だれか、大問３（１）の帰納法やってくれ！！
俺にはうまい回答できん。頼む！！
10：図書館の名無しさん：2010/02/28(日) 02:30:08 ID:tW7A6L0s0: 大問２
(1)
部分積分の公式を使う。
∫（－πからπまで）tsintdt
=∫（－πからπまで）t(-cost)dt
=[t(-cost)]（－πからπまで） - ∫（－πからπまで）(t)'(-cost)dt
=[-tcost ]（－πからπまで）+ ∫（－πからπまで）costdt
=[-tcost ]（－πからπまで）+ [sint]（－πからπまで）
=-πcosπ + (-π)cos(-π) + sinπ -sin(-π)
=-π(-1) - π(-1)
=2π

∴∫（－πからπまで）tsintdt = 2π

２倍角の公式を使う。cos 2t = 1-2sin2乗tより
∫（－πからπまで）sin二乗tdt
=1/2∫（－πからπまで）(1-cos2t)dt
=(1/2)[t - (1/2)sin2t]（－πからπまで）
=(1/2)[π - (1/2)sin2π - {(-π) -(1/2)sin2(-π)}]
=(1/2)(2π)
=π

∴∫（－πからπまで）sin二乗tdt = π

(2)
まずf(x)の中味を自然に展開する。そして、途中で、(1)で求めた結果をそれぞれ代入する。
f(x)=∫（－πからπまで）{t-g(x)sint}二乗dt
=∫（－πからπまで）{t2乗 - 2g(x)tsint + (g(x))2乗 * sin2乗t}dt
=∫（－πからπまで）{t2乗}dt - 2g(x)∫（－πからπまで）tsintdt + (g(x))2乗∫（－πからπまで） {sin2乗t}dt
=(1/3)[π3乗 -(-π)3乗 ] - 2g(x) * (2π) + (g(x))2乗 * (π)
=(2/3)π3乗 - 2g(x) * (2π) + (g(x))2乗 * (π)
=(2/3)π3乗 - 4πg(x) + π(g(x))2乗

f(x)をxについて微分する。

∴f'(x)= -4πg'(x) + 2πg(x)g'(x)

(3)
g(x)=x3乗 - 3xより、
g'(x)=3x2乗 - 3

これらを(2)で求めたf'(x)へ代入する。この直後、展開せず、上手に因数分解すること。
f'(x)=-4π{3x2乗 - 3} + 2π(x3乗-3x)(3x2乗 - 3)
=2π(3x2乗 - 3){(x3乗-3x) - 2]
=6π(x2乗 - 1){x3乗 - 3x - 2}
=6π(x2乗 - 1)(x+1)(x2乗 -x -2)
=6π(x+1)(x-1)(x+1)(x+1)(x-2)
=6π(x+1)3乗(x-1)(x-2)　　　　　　（←(x+1)3乗の部分は、xの３重解があることに注意）

f(x)が極値を持つ時のxは、f'(x)=0となる時のxを調べる。
f'(x)=6π(x+1)3乗(x-1)(x-2)=0より
x=-1（３重解） ,1 ,2
（ただし、x=-1は３重解のため、極値を持たない。しかし、グラフを書くのに必要）

f(x)=(2/3)π3乗 - 4π(x3乗 - 3x) + π(x3乗 - 3x)2乗

f(2)=(2/3)π3乗 - 4π(8-6) + π(8-6)2乗
=(2/3)π3乗 - 8π
f(1)=(2/3)π3乗 - 4π(1-3) + π(1-3)2乗
=(2/3)π3乗 + 12π
f(-1)=(2/3)π3乗 - 4π(8-6) + π(8-6)2乗
=(2/3)π3乗 - 8π

増減表＆グラフを書いて、（略）
（グラフを描くときのポイントは、xの区間ごとに簡単な値を入れて行うこと）
（x<-1 x=-1 -1<x<0 x=0 0<x<1 x=1 1<x<2 x=2 2<x)
（x=0を入れて、y切片を出すとf(0)=(2/3)π3乗）

∴求める極大値は、f(1)=(2/3)π3乗 + 12π
11：図書館の名無しさん：2010/02/28(日) 02:31:56 ID:tW7A6L0s0: 合ってるかどうかわからん。間違ってたら、途中の式の修正頼む。
12：図書館の名無しさん：2010/02/28(日) 05:56:55 ID:tW7A6L0s0: 数学　大問４
(1)
以下、AB AC AQ AP BQ BC などはすべてベクトルとする。

まずAQを最終的にABとACで表すための変形をしていく。s,tは実数なので、気にしない。

BQ=（t/s＋t）BCより
AQ=AB+BQ
=AB+BQ
=AB+（t/s＋t）BC

BC=AC-ABより、
AQ=AB+(t/s＋t)BC
=AB+(t/s＋t)(AC-AB)
={AB(s+t) + t(AC-AB)}/(s+t)
={sAB + tAB + tAC - tAB}/(s+t)
=(sAB + tAC)/(s+t)

∴AQ=(sAB + tAC)/(s+t)

(2)
ABとACのなす角が60°なので、内積AB*ACを求める

AB*AC = |AB||AC|cos60°
=|AB||AC|(1/2)

与条件|AC|=2|AB|より、
AB*AC = |AB|*2|AB|(1/2)
AB*AC =|AB|2乗　　　（←これは、後で使うので要注意！！）

APとAQの関係から、s,tの関係式を導く（←|AP|=5t|AQ|が与えられているのでそう判断する！！）

AP=sAB + tAC
AQ=(sAB + tAC)/(s+t)
より
AQ=AP/(s+t)
AP=(s+t)AQ
|AP|=|(s+t)AQ|
|AP|=(s+t)|AQ|
|AP|=5t|AQ|だから、
s+t=5t s=4t　　・・・・・①

APとCPの関係から、s,tの関係式を導く（←AP⊥CPが与えられているのでそう判断する！！）

AP⊥CPより、内積AP*CP=0
AP=sAB + tAC
CP=AP-AC
=sAB + tAC - AC
CP=sAB + (t-1)AC
AP*CP=(sAB + tAC)*(sAB + (t-1)AC)=0
=s|AB|2乗 +s(t-1)AB*AC + stAB*AC + t(t-1)|AC|2乗
=s|AB|2乗 +s(t-1)|AB|2乗 + st|AB|2乗 + 4t(t-1)|AB|2乗　（←すべて、AB*AC =|AB|2乗を用いる）
=(s+st-s+st)|AB|2乗 + 4t(t-1)|AB|2乗
=(2st+4t(t-1))|AB|2乗=0　　・・・・・②

①、②より、
s=4t
2st+4t2乗 -4t=0
8t2乗+4t2乗 -4t=0
3t2乗 -t=0
t(3t-1)=0

∴tとsは正の実数より、t=1/3 s=4/3
13：図書館の名無しさん：2010/02/28(日) 06:54:32 ID:tW7A6L0s0: 数学　大問５
(1)
E=(1 0 0 1)、2次の正方行列A=(a b c d)、A二乗 =-E

A二乗 =(a b c d)(a b c d)= -(1 0 0 1)

a2乗+bc=-1
ab+bd=0
ac+cd=0
bc+d2乗=-1

a=0より

∴ d=0,bc=-1

(2)
E+A=(1 0 0 1)+(a b c d)=(1 b c 1)

E+AのデルタΔを求める。
(1)bc=-1より
E+AのΔ=1-bc=1-(-1)=2
E+AのΔはゼロではない。逆行列が存在する。

(E＋A)ｲﾝﾊﾞｰｽ=(1/1-bc)(1 -b -c 1)
=(1/2)(1 -b -c 1)

よって、逆行列(E＋A)ｲﾝﾊﾞｰｽを持つ

(E＋A)ｲﾝﾊﾞｰｽ=pE + qA
=P(1 0 0 1) + q(0 b c 0)=(1/2)(1 -b -c 1)

∴p=1/2,q=-1/2
14：図書館の名無しさん：2010/02/28(日) 07:13:51 ID:tW7A6L0s0: 数学　大問５(3)は誰かやってくれー！！
15：図書館の名無しさん：2010/02/28(日) 11:09:56 ID:n3M0HLD20: ２年前に受けたが、なんか簡単になってないか？
16：図書館の名無しさん：2010/02/28(日) 14:11:57 ID:uafbTksI0: 大問２をしくった馬鹿です。
５（３）
ハミルトンケーリーの定理より、A~2－（a＋d）A＋（ad－bc）E＝０
題意よりA~2=－Eから
－E－（a＋d）A＋（ad－bc）E＝０
整理して（a＋d）A＝（ad－bc－1）E
a＋d＝ｓ ad－bc－1＝ｔとし
ｓA－ｔE＝０
ここから場合分け
①ｓ＝０の時
ｔ＝０となり
a＋d＝０ ad－bc－1＝０→ad－bc=１
②ｓ≠０の時
ｓA＝ｔE
A＝ｔ／ｓE
これをA=ｋEとする（Kは実数←必ず書く）
A~2＝－Eに代入すると　ｋ~2E＝－Eとなる
整理すると（K~2＋１）E＝０
E≠０より、K~２＝－１
ｋは実数よりこの場合実数を持たないので不適切である。
よって①②より
a＋d＝０
ad－bc＝１

誤字脱字あったらすみません。
17：図書館の名無しさん：2010/02/28(日) 14:15:04 ID:uafbTksI0: 超簡単でした。がミスしました。
過去問と比べものになりません。
18：図書館の名無しさん：2010/02/28(日) 17:12:44 ID:lav6INRU0: ルイヴィトン販売:http://www.ok-brand.com/
ルイヴィトンバッグ:http://www.ok-brand.com/louisvuitton-bag.html
ルイヴィトン財布:http://www.ok-brand.com/louisvuitton-wallet.html
19：図書館の名無しさん：2010/02/28(日) 19:39:15 ID:JJ3V3hdI0: >>10
数学　大問２
を書いた者です。ちょっと訂正。

(3)のf(2)、f(-1)の数値だけ間違ってました。

（正）
f(2)=(2/3)π3乗 - 4π(8-6) + π(8-6)2乗
=(2/3)π3乗 - 4π

（正）
f(-1)=(2/3)π3乗 - 4π(8-6) + π(8-6)2乗
=(2/3)π3乗 - 4π

よろしくです。
20：図書館の名無しさん：2010/02/28(日) 19:42:49 ID:JJ3V3hdI0: >>16-17
受験お疲れ様でした。
まあまあ。みんなもどこかミスってるから気にしないで！！
それより良い知らせが来ることを祈ってます。
５（３）解答どうもありがとう。非常に助かりました。
21：図書館の名無しさん：2010/02/28(日) 19:59:53 ID:uSHGEtig0: ここの回答って１００パーセントあってるんですか？
22：yas1alt：2010/02/28(日) 20:26:16 ID:6LXFrMVQ0: トリックスター RMT
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23：図書館の名無しさん：2010/02/28(日) 23:26:47 ID:uafbTksI0: >>20　
お疲れ様です！　正直不安で不安でここ数日苦しいです．．．
僕は建築ですが、お互い受かっている事を願いましょう・・・
>>21
これは僕が書いた解答で先生にも同じ問題を解いてもらい見てもらった所答えはあっていました！
ですが書き方は完ぺきとは何とも言えません。９割方あっていると思ってもらえたら助かります！

２次試験 解答速報