【数学】面白い数学問題を出し合うスレ【算数】 - 1641798536

1：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/10(月) 16:08:56 ID:KPtG2zvw: 面白い数学の問題を紹介したり、オリジナルの問題を出し合うスレです
ということで早速オリジナル問題を出してみるので考えてみてください
129：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/18(火) 20:26:42 ID:0K6E7bzU: 男優Aの正反対を向いている男優Bが前方に向かって左120°の方向に進むといえばよかったかも
130：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/18(火) 20:29:31 ID:0K6E7bzU: 60°か45°か30°じゃないとダメだやっぱ（諦念）
係数を整数にする方法あるかな…
131：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/18(火) 20:51:30 ID:NrYONCQg: 前後左右よりも東西南北の方が把握しやすいかもしれないですね
132：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/18(火) 21:21:19 ID:NrYONCQg: 問題を出しまし。
AB=ACの二等辺三角形ABCがあり、∠A=36°、BC=1でありまし。
ABの長さを求めて下さいまし。
https://i.imgur.com/Ns5vseu.png
133：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/18(火) 23:15:05 ID:NrYONCQg: （ちなみに中学生でも解けまし）
134：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/18(火) 23:48:55 ID:ZPs9Pavc: cos(2Θ+3Θ)＝cos5Θ=0から18°のΘを求めようと頑張ったけどんにゃぴ…
中学生でもできるなら正十角形のパーツなことをなんかうまいこと使うんすかね
135：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/18(火) 23:49:49 ID:6IoL864s: 図から∠B＝∠C=(180-36)/2=72°
∠Bの二等分線と辺ACが交わる点をPとすると、∠ABP=∠CBP=36°
これによってできた三角形２つについては以下のように言える
①三角形APBは∠A=∠ABP=36°の二等辺三角形になる
②三角形CBPは∠CBP=36°、∠C=72°より三角形BACと二角が等しく相似形であり、したがって二等辺三角形になる

①よりAP=BP、②よりBP=BCとなるので、AP=BP=BC=1
そして三角形BACと三角形CBPは相似なので、AB:BC=BC:CP⇔AB:1=1:CP⇔AB*CP=1
このときCP=CA-AP=AB-1なので、AB*(AB-1)=1⇔AB²-AB-1=0
解の公式よりAB=(1+√5)/2　（AB>0）

高校受験とかで出てくる円に内接する正十角形の問題ですかね？
最終的に答えが与えられた辺の長さと答えが黄金比になるのいいっすねぇ
136：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/18(火) 23:56:31 ID:ZPs9Pavc: はえ～補助線一本引くだけで相似で解けるんすねえ
137：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 00:08:27 ID:IOshj0ps: >>135
正解でし（満悦）
正十角形とかは特に考えず出しまし。
これを始めて知ったのはsin1°を導出する動画でし。どの動画かは忘れまし（しょんぼり）。

用意した図
https://i.imgur.com/oF4pucB.png
>>135と全く同じなので特に断ることはないでし。
138：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 00:36:56 ID:0QoJKs5c: 十個並べて円を作る方法はだれか理系の人がやってくれるはず
AB=AC=xと置く
二等辺三角形であるから∠B=∠C=72°
∠Bの二等分線とACの交点をPとおくと、
∠B/2=36°なのでAP=BP
さらに三角形の二等分線の性質（これが中学の範囲かは知らない）からAP:PC=1:x
AP=x/x+1
さらに、△BACと△BPAは3つの角が等しいので相似である
1:x=x:x/x+1
x^2=x/x+1
あきらかにx≠0より
x(x+1)=1
x^2+x-1=0
x=-1+√5/2
(√5>1より正の数である)
139：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 00:40:26 ID:0QoJKs5c: スマホで図も書かずぽちぽちしてたのでものすごく無駄な計算をしてましたね…
140：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 00:45:40 ID:0QoJKs5c: おや、よく見ると解が違うけどどうしたのだろう（無能）
141：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 00:58:24 ID:IOshj0ps: >>140
>>138
おそらくでしが、
AP:PC=1:x ←x:1の誤り？
AP=x/x+1 ←=x(x-1)の誤り？
この辺りだと思うでし。

それでも導出法はあっているので花丸でし（満悦）
142：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 01:19:46 ID:0QoJKs5c: あ、そっかあ…
ベクトルの比率のやつと混同してましたね
143：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 01:20:00 ID:eMHWLyic: 10個集めて正十角形は円周率の近似値出すときのアレですね
正十角形の周の長さが10、これに外接する円の直径は2AB=1+√5なので円周率は
10/(1+√5)≒3.09より大きいことが示せます

「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」もこれで楽ちんちんです
有名角の45°(正八角形)や30°(正十二角形)を使うと二重根号の評価でハマるゾ(絶望)
144：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 16:56:49 ID:w0tqtApQ: ⚠︎オリジナル問題では全くありません！⚠︎
検索されないため出典は最後に言いますが、とても解きがいのある問題なので挑戦してみて下さい

下の図のような四角形があります
∠A＝150°、∠B＝60°、∠C＝90°であり、BCの長さはABの長さの5倍です
この時CDの長さとADの長さの比を求めて下さい
https://imgur.com/a/aAduvHX
145：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 17:53:03 ID:0QoJKs5c: 与えられた条件により、
ABCDは四角形なので∠D=60°
AB=xとしたとき、BC=5x
∠BCP=30°となるようなPをABCDの内部に置く
CPの延長線はAB,AD上の点Sと交わるが、
∠B=60°より∠BSC=90°
また、∠DCS=∠C-∠BCS=90°-30°=60°であり、
三角形の内角の和より∠DSC=60°
∠BSC+∠DSC=150°より、S=Aである
上記より△ADCは角がすべて等しいので正三角形であり、AD=DC=CA
△ABCは∠BAC=90°、∠B=60°の直角三角形であるから、
AB:AC:CB=1:√3:2
条件よりよってAC=√3×AB=√3x
になるはずだけど2x=5xになるところでなにかがおかしい
146：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 17:58:23 ID:/V6QzuO6: AからBCに垂線AHと、AからCDにBCとの平行線AEを引いてパパパッと30度60度90度の△の辺の比を使って終わりっ！
CD:ADはABを2と考えたら4√3:6√3になって2:3すかね
147：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 18:38:35 ID:/V6QzuO6: >>145
「CPの延長線はAB,AD上の点Sと交わるが、
∠B=60°より∠BSC=90°」
ここがSがAD上に入っちゃっ…たあ！場合に成り立たなくなるからじゃないですかね（適当）
148：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 20:01:23 ID:w0tqtApQ: 少しネタバレをしますが、これは中学受験の問題で小学生でも解けるように作られています(解けるとは言ってない)
なので√を使わないやり方で解いて頂けると幸いです
149：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 20:23:10 ID:IOshj0ps: なるほど、たぶんわかりました。
三角形敷き詰めればいけますね
図を作ってみます
150：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 20:43:03 ID:IOshj0ps: できました
注意深くやれば問題文の情報だけでここまでできますね
これによりCD:AD=2:3とわかります
https://i.imgur.com/KGORqh9.png
151：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 20:59:49 ID:w0tqtApQ: >>150 ファッ！？こんな解答想定してなかったゾ…(池沼) 天才かな？
もう少し現実的な方法もあるのでまだまだ解いてみてください
152：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 21:24:46 ID:XJXRw63k: 図がなくてわかりづらすぎるけど許し亭許し亭

①ABの長さをXとおきます。するとBC=5Xです。

②まず辺BC上に△ABPが正三角形となるような点Pを取ります。AB=AP=X。
　このときそれぞれの外角については∠APC=180°-60°=120°、∠PAD=150°-60°＝90°になります。

③∠APCの二等分線を引いて、辺CDが交わった点をQとします。∠APQ=∠CPQ=120°/2=60°
　△APQについて考えると∠PAQ=∠PAD=90°、∠APQ=60°より∠AQP=30°
　よって△APQは30、60、90の三角定規の形をした直角三角形になります。よって長さの比よりPQ=2AP=2X。

④∠PQDについて考えると、∠PQD=180°-∠AQP=180°-30°=150°となり、直角と60°に分ければ進展しそうです。
　なので点Qを通る辺ADの垂線を描き、その垂線と辺BCの交点を点Rとします。
　∠PQD=150°ですから、∠DQR=90°、∠PQR=60°です。
　ここで△PQRは二角が60°となっているので、残りの∠PRQ=60°となって正三角形であると分かります。
　辺の長さはPQ=QR=PR=2Xです。すると辺BC=BP+PR+RCですから、5X=X+2X+RCとなり、RC=2Xです。

⑤四角形QDCRについて、条件より∠C＝90°、垂線を引いているので∠DQR=90°です。
　∠QRC＝180°-∠PQR=180°-60°=120°、∠Dは∠D=360°-(∠A+∠B+∠C)=60°になります。
　またQRとCRの長さはともに2Ｘであると分かっています。
　よってこの凧のような形の四角形を対角線RDで分割すると、同じ大きさの直角三角形が２つできます。
　∠QRD=∠CRD=120°/2=60°、∠QDR=∠CDR=60°/2=30°なので、この２つも30、60、90の三角定規型です。

⑥同じ三角定規形の△APQと△QRDおよび△CRDの大きさを比較してみます。
　QR=CR=2XおよびAP=Xより、辺の長さは２倍になっていると分かりますので、QD=CD=2AQです。
　そのため、AD=AQ+QD=3AQとなり、問題のADとCDの比は2:3であると分かりました。
153：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 21:38:28 ID:XJXRw63k: https://imgur.com/a/EhJFStE.png
ざっくり図を描きました。くっそ雑で申し訳ナス！
あと最後の最後で回答違いますね…。CD:AD=2:3です。
154：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 23:02:47 ID:eMHWLyic: https://i.imgur.com/mnppxq9.jpg
ABの延長とBCの延長の交点をE、Aから辺BCに下ろした垂線の足をFとする
AB=1, BC=5とすると、三角形ABEが底角30°の二等辺三角形になるから、EB=AB=1
三角形ABFは(30°, 60°, 90°)の直角三角形だからBF=AB÷2=0.5
三角形AEFと三角形DECの相似に注目すると、その相似比はEF:EC=(1+0.5):(1+5)=1:4
よって、DC=AF×4
三角形AEFも(30°, 60°, 90°)の直角三角形だからAE=AF×2
三角形DECも(30°, 60°, 90°)の直角三角形だからDE=DC×2=AF×8
よって、AD=DE-AE=AF×(8-2)=AF×6
以上より、DC:AD=4:6=2:3

小学生の算数っぽく解くならこんな感じですかね？
155：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 23:37:33 ID:w0tqtApQ: 皆さまありがとうございます、答えはお察しの通り2:3です
自分が想定していない解き方ばかり出てきたのでまさに「井の中の蛙大海を知らず」でした
投稿された解き方はおそらく全て正しく素晴らしいでしょうが、美しさで言うと150氏に軍配をあげたいと思います
解き方が複数ある問題は良問ってはっきりわかんだね
156：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 23:38:51 ID:w0tqtApQ: 恥ずかしながら自分の解き方を載せておきます

直線ABと直線CDの交点をEとする
∠DAG＝∠DEA＝30°なので△DEAは二等辺三角形となる
よってAG＝GE、またAD＝DE

ここで、点Cと点DからBEに垂線を下ろし、それぞれF、Gとする
題意よりAB＝1、BC＝5であり、30°・60°・90°の三角形の辺の比から
BE＝10、BF＝2.5となる

よってEG＝(10-1)÷2＝4.5、GF＝10-2.5-4.5＝3となる
△EDGと△EFCは相似であるためEG:GF＝ED:DC＝4.5:3=3:2
AD＝EDより、CD:AD＝2:3

https://imgur.com/a/yUnPIVs
157：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 23:42:52 ID:w0tqtApQ: 気づかれた方もいらっしゃるかもしれませんが、本問は前の土日に行われた灘中学の中学入試問題です
灘中の算数は12問・60分なのでこの問題を5分程度で解く必要があるわけですね
実際灘出身の方にこの問題を見せたところそのくらいの時間で解いてしまったので発想力の差を感じさせられました
158：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 23:48:59 ID:amoCYUW6: はえー…すっごい
自分もほぼ156と同じ解法でした
159：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 23:51:14 ID:w0tqtApQ: これがこの問題の別解の数々ですかーこんなにあるとは思わなかったぁ～
https://twitter.com/sansu_seijin/status/1482293235859202051?s=12
たぶんこれ補助線の引き方でどうとでもなる感じですね

ただオリジナル問題じゃないから人の褌で相撲をとってるみたいな感じになって申し訳ねぇです
160：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/20(木) 01:23:31 ID:NhLo1Hmg: >>150ですがまさかの采配を頂き恐縮です。
他にも色々な解き方があっておっ...おっぱげた...。勉強になりますね。

それから、他人の褌だなんてお行儀の良いいことは考えずに、また面白そうな問題を見つけたら遠慮なく出して欲しいです。
とにかく顔中数字まみれになって、盛り合いたいぜ。
161：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/20(木) 09:12:16 ID:3wqn7Oz2: >>150のような図ってどうやって打ち込んでるんですかね
このスレ全体の為にも是非教えて頂きたいです
162：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/20(木) 12:06:50 ID:/aLpUnCQ: 小学生にこれを5分で解かせるとか結構効きそうですねえ
163：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/20(木) 13:42:10 ID:NhLo1Hmg: >>161
僕の場合はLaTeX環境にemathパッケージを導入して作っていますね（デフォで入っているTikZは不便なので）
画像化はTeX2imgを使っています。
164：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/20(木) 21:56:32 ID:3wqn7Oz2: >>163 はえ～(半分もわからない)
165：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/21(金) 02:12:35 ID:BtcvWGgU: >>164
凄く簡略化してしまって申し訳ないです.....
LaTeXは数式を美しく文書化できる環境で、wordの数式機能をコマンド化させた物と考えて貰ってもいいかもしれません。主に大学のレポートや論文で用います。
LaTeXが梱包している特殊機能（パッケージ）は基本、最初にコマンドで『呼び出し』て用いるのですが、その中にTikZという作図機能を持つものがあります。でもコマンドがやや不十分で使いにくいんですね。
なのでemathと呼ばれる有志が作成したパッケージを手で導入して作図に使っています。これは主に教員が教材用に用いる物で、非常に充実したコマンドが揃っています。
ただ導入が少し面倒ですね...、ファイルの置場所とか公式wikiとにらめっこしながらやりました。（指示に忠実に従えばできる）また、emathの作図機能を用いる場合、emathとは別にperlと呼ばれる計算ソフトもインストールしなければなりません。まあインストールするだけですが。
emathは差し置いてもLaTeX環境は整えておくと数式を楽々と電子化できてテンション上がるので是非使ってみてください

あとTeX2imgは落ちてるフリーソフトです。texファイルを画像化してくれます。
166：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/21(金) 11:59:29 ID:ETj3P/yk: らてふ派は数学に強いな
167：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/21(金) 16:27:29 ID:AME6chzE: texでテフと読むの未だに納得できてない
テックスだろテックス
168：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/22(土) 23:29:22 ID:P9awiHoE: 〈オリジナル問題〉

問題を考えてみたのですがどうにも答えが出なかったのでとりあえずここに投げます

1から9の数字が書かれたカードが1枚ずつ、計9枚あります
ここから4枚のカードを引き、引いた順にカードを並べ4桁の整数にします
例えば9、3、1、5の順にカードを引いた時、できる数字は9315となります

ここで9315は9でも、3でも、1でも、5でも割り切れます
このようにできる整数が各々の位の数字で割り切れるような数字は何通り作ることができるでしょうか
169：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/22(土) 23:31:25 ID:P9awiHoE: この辺にぃ、うまい数論の解き方ないらしいっすよ…
場合分けもイマイチよくわからないしどうすればいいのやら
プログラム組める兄貴ならささっと総当たりで解いてくれそう
170：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/23(日) 00:10:43 ID:g3AFhEug: 1000p+100q+10r+s（p,q,r,sは1~9までの互いに異なる整数）をpqrsと表記する
1の倍数は自明
2の倍数はsの奇遇だけで判断
3の倍数はp+q+r+s≡0(mod3)で判断
4の倍数はrs≡0(mod4)で判断
5の倍数はsが0か5
6の倍数は2の倍数かつ3の倍数
8の倍数はqが奇数のときrs≡0(mod8)、qが偶数のrs≡4(mod8)
9の倍数はp+q+r+s≡0(mod9)
となんか整理できそうなので7の倍数をうまく表せればいいですね（他力本願）
171：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/23(日) 00:45:32 ID:iAlxvv.c: 出来る数が奇数のとき
→1.3.5.7.9のうち4つ使って条件充たす必要がある
13579の合計25から一個抜いて3or9or両方の倍数にしないといけないから
1.3.5.9の組み合わせしか無理
かつ◯◯◯5にならないといけないから
結局奇数で出来るのは6通りだけっぽいすね
偶数も同じ感じでいけるんじゃない？(眠いので放棄)
172：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/23(日) 01:14:32 ID:g3AFhEug: 3248
9126
とかあるから偶数はめんどくさそうですね（適当）
139が絡んでくるだけでしょうけど
173：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/23(日) 02:40:42 ID:DaHtEHAo: 多分ですが偶数が一つの場合は可能なのものがありませんね
忙しくて詳細書けませんが
あと5が含まれる場合>>171が書かれた一の位が5で他は139自由に並べるパターンしかないはずです
174：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/23(日) 21:12:08 ID:iAlxvv.c: 偶数の時　5は完全に排除可能
下一桁が2，4，6，8、で場合分け
（1）下一桁が2の場合　
9を必ず使うとすると残り2つの候補は9の倍数条件的に(1,6)か(3,4)（2と9で11になるため9の倍数18のために7を残り2数で作る）
(2,3,4,9)→下二桁が4で割れる○○32で2通り
(1,2,6,9)→○○○2で6通り

8を必ず使って残り2つを7以下(13467)から選ぶとすると、8の倍数条件的に並びは8奇12,8偶32,○832,8遇72,○872
8奇12→8312は3で割れないので無理、8712は7で割れないので無理
8遇32と○832→832の合計13に残りの候補数字1467どれを足しても3で割れないので無理
8遇72→8472は7で割れないので無理、8672は6で割れないので無理
○872→1,3,6を入れても7で割れない 4872は7で割れるので1通り

7を必ず使って6以下(1346)から残り2つを選ぶとすると、2と7の合計が9なので3と6を使う場合は必ずこの2ペアで入れる必要がある
36を使う→3672,3762,6372,6732,7362,7632→どれも7で割れないので無理
36を使わない→（1,2,4,7)→4で割れるのは1472か4172だが更に7で割れるのは4172のみで1通り

6を必ず使って4以下(134)から残り2つを選ぶと、3の倍数条件的に残りの選び方は1.3か3.4
(1,2,3,6)→○○○2で6通り
(2,3,4,6)→4の倍数になる○○32で2通り

4以下で3つ選ぶのは(1,2,3,4)→3で割れないので無理

よって下一桁が2になる場合は計18通り

あとは下一桁が4の場合と6の場合と8の場合を考えればいいゾ(放棄)
こんなやり方じゃ数学になんないよ(呆れ)
175：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/23(日) 21:32:42 ID:iAlxvv.c: 4の場合は○○24、○○64、○○84
8の場合は○奇28、○奇68、○遇48
6の場合は残りが1,2,3,4,7,8,9の中で和が3の倍数になる3数
って感じで2よりはふるいにかけやすそうっすね
176：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/23(日) 21:50:35 ID:g3AFhEug: 7があまりにも悪さをしている、訴訟
高校生のホモのみんなは13×7=91とか17×7=119とかが整数の問題では頻出なので覚えておきましょう
177：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/23(日) 22:04:34 ID:DaHtEHAo: >>170の表記を採用して考えます
(1)５が含まれる場合
　もし他に偶数が含まれているとabcdは10の倍数となり、d=0となるので矛盾。
　よって他の数字は全て奇数(1,3,7,9)となります。
(1-i)更に9を含む場合
　(1+3+7+9+5)-(1or3or7)≡0 (mod9)
　となるので1,3,9,5の組み合わせのみが可能となる。5の倍数なので一桁目は5、他は自由とわかる。よって6通りが見つかる。
(1-ii)更に9を含まない場合
　1,3,7,5で作りたいが、3の倍数であるべきにも拘らず1+3+7+5=16は三の倍数ではないので不可能。

(1)より5を含む場合、1395および1,3,9を自由に交代した計6通りが可能である。

以下からは1,2,3,4,6,7,8,9の組み合わせから考えればよい。
(2)全て奇数の場合
　1,3,7,9で作られるが、1+3+7+9=20は3の倍数ではないので不可能。よって存在しない
(3)全て偶数の場合
　2,4,6,8で作られるが、6が含まれるので少なくとも3の倍数になる。一方2+4+6+8=20より3の倍数ではないので不可能。よって存在しない。

補題(a)：１の位は必ず偶数
　もし１の位（d）が奇数の場合、abcdは奇数なので、二で割り切れない。よってa,b,cは奇数。しかし(2)からそのようなabcdは存在しないので、dは必ず偶数になる事が分かる。

(4)偶数が一つの場合。
　補題(a)より１の位が偶数となる。他の位は1,3,7,9から三つ選ばれる。
(4-i)更に9が含まれる場合。
　1+3+7+9+d(偶数)-(1or3or7)=20+d-(1or3or7)≡0 (mod9)
　この時、20+d-(1or3or7)は必ず奇数なので、これは9or27が有り得る。9を目標として最小条件を考えるとd=2とし減算は7を行うので、20+2-7=15で9には届かない。
　よって27を目標とすべきであり、その条件に合致するのはd=8で1を使わないパターンである。つまり、3,7,8,9を用いて考える。
　補題(a)から一の位が8であり、また8の倍数となるので、100b+10c≡0 (mod8)となる。更に変形して、4b+2c≡0(mod8)⇒2b+c≡0(mod4)しかし、最後の式でb,cが奇数だから左辺は奇数、一方左辺は偶数なので不適。
　よって3,7,8,9で適切なabcdは作れない。
(4-ii)9が含まれない場合。
　1,3,7,d(偶数)でabcdを作ることになる。3を含むので3の倍数となるため、1+3+7+dが三の倍数となるのはd=4の時のみ。よってabcdはd=4で4の倍数となる。すると10c≡0(mod4)⇒2c≡0(mod4)⇒c≡0(mod2)となるが、cは奇数の為、不適。
　よって1,3,7,d(偶数)で　abcdは作れない。
以上から、偶数が一つで適切なabcdは存在しない。

此処まではやりました。偶数が二つ、三つの場合は…ナオキです…。
178：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/23(日) 22:05:56 ID:g3AFhEug: >>80の出題者なのでせっかくだからつかうと
∑10^kA_k(A_nは0~9までの整数をとる)が7の倍数である条件は
∑(7+3)^kA_kなので、二項定理より与式=7d+∑3^kA_kが7の倍数
∑3^kA_k≡0(mod7)と求められるので
27p+9q+3r+s≡0(mod7)なら7の倍数です
直接7で割ったほうが早いのはそのとおりです
179：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/23(日) 22:19:15 ID:DaHtEHAo: >>177
長いので纏めを書いておきます

・5が含まれる場合は、1,3,9,5のパターンのみ可能であり、以後５を除いた数字のみを考えればいい。
―――以下、5は考えない――
・全て奇数の場合は有り得ない
・全て偶数の場合は有り得ない。
・一の位は必ず偶数
・偶数が一つの場合は有り得ない。

以上です。
180：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/23(日) 22:20:50 ID:g3AFhEug: 6p+2q+3r+s≡0(mod7)は3や9とのテストに使えるのとsは偶数の性質が役に立つかもしれない（適当）
181：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/23(日) 22:29:42 ID:vth82seA: >>176 「すべてがFになる」の真賀田博士を思い出しますねぇ！
それはともかく前提条件は簡単なのにここまで複雑になるんですね…
182：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/24(月) 19:34:20 ID:rTmDWDas: >>174 氏と>>175氏の提言にならって下一桁が4の場合をやってみました

(2)下一桁が4の場合
この場合、abcd自体が4で割り切れなければいけないので○○24、○○64、○○84の三パターンある

ⅰ)○○24の場合
9を使うとすると、9の倍数条件より残りは3が確定する
よって3924、9324の2通り

8を使うとすると(残りは8以下とする)、倍数条件より下3桁が8の倍数でないといけないため下一桁は624、824のみとなるが、8624は不適(∵6の倍数ではない)。1824のみ。1通り。

7を必ず使うとすると(残りは6以下)、下二桁が24となる4桁の7の倍数は1624、2324、3024、3724、4424、5124、5824、6524、7224、7924、8624、9324のみ。この中に条件を満たす数はない。

6を必ず使うとすると、6の倍数条件から残りは3のみ。よって3624、6324のみ。2通り。

4以下から4つ選ぶのは不適。

ⅱ)○○64のとき
6の倍数条件から○+○＝8 or 14なので可能性としては(1、７)のみ(∵14の時は全て数字が被る)。ここから条件に適するのは1764のみ。1通り

ⅲ)○○84のとき
8の倍数条件から下3桁は184、384、784、984のみ。
このうち784は7の倍数なので4桁にすると7の倍数になる数として不適。
○184→2184のみ
○384→6384のみ(∵3の倍数条件)
○984→6984のみ(∵9の倍数条件)
よって3通り

ⅰ)～ⅲ）より条件を満たす下一桁が4の数は9通り。

個人的に1764が条件を満たすのに感動しました
183：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/24(月) 20:44:01 ID:VwyG5TqY: 昨日途中放棄した人間の屑です
続きやってくれるホモがいるとはたまげたなぁ
せっかくやって頂いたので茶々を入れさせてもらうと、
◯◯24で(7,2,4)と残り1つ(6,5,3,1)を検討してるところは
先に6,5,3を3の倍数や5の倍数条件的に候補から外せばより楽かな？と思います
解き方の話なのでほんとにただの茶々です

7くんが基本邪魔してくるけどたまにデレてくれるの楽しいですよね(錯乱)
184：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/24(月) 23:15:35 ID:VwyG5TqY: 続きに触発されたので再続行して完走しました。

(3)一桁目が6の場合
9を必ず使って残り2つを8以下(123478)から選ぶとすると、残り候補は(1,2)か(4,8) (∵69の和が15なので9の倍数条件的に残り2数の和が3or12)
(1,2,9)6→○○○6の6通り
(4,8,9)6→8の倍数条件的に○○96の2通り　

8を必ず使って残り2つを7以下(12347)から選ぶとすると、8の倍数条件的に並びは○偶16,8奇36,8奇76
○偶16→168を使うと3の倍数条件的に残りは3のみ→8316の1通り
8奇36→3の倍数条件的に考えても1か7が候補になるが8736は7で…割れてんだよなあ！よおなあ！(歓喜)→8136と8736の2通り
8奇76→3の倍数条件的に候補は3のみだが8376は7で割れないので無理

7を必ず使って残り2つを4以下(1234)から選ぶとすると、残り候補は3の倍数条件的に(1,4)か(2，3)
(1,4,7)6→4の倍数条件的に4716,7416,1476,4176→いずれも７で割れないので無理
(2,3,7)6→2376,2736,3276,3726,7236,7326→3276だけ7で割れます。かわいいねえ3276くん→1通り

4を必ず使って残り2つを3以下(123)から選ぶとすると、残り候補は3の倍数条件的に(2,3)
(2,3,4)6→4の倍数条件的に○○36の2通り

よって一桁目が6の場合の数は14通り

一桁目が8の場合　8の倍数条件的に○奇28、○奇68、○偶48に限られる
ⅰ)○奇28に(1,3,4,6,7,9)から2数選んで入れる場合　
9を入れるとき→928の合計が19となり、9の倍数条件的に残りの数では無理
9以外(1,3,4,6,7)から選ぶと候補は○128,○328,○728
○128→3,4,6,7のうち3の倍数条件的に3,6は無理、7128も7で割れない　→4の倍数条件を充たす4128の1通り
○328→3の倍数条件的に無理
○728→728自体が7で割れてしまうため何を入れても7で割れないので無理

ⅱ)○奇68に(1,2,3,4,7,9)から2数選んで入れる場合　
9を入れるとき→9の倍数条件的に残り候補は4のみ→4968の1通り
9以外(1,2,3,4,7)から選ぶと候補は○168、○368、○768
○168→3の倍数条件的に残りは3のみ→3168の1通り
○368→3の倍数条件的に残りは1,4,7だが7368は7で割れない→1368と4368(4で割れる)の2通り
○768→3の倍数条件的に残りは3のみ→3768は7で割れないので無理

ⅲ)○偶48に(1,2,3,6,7,9)から2数選んで入れる場合
9を入れるとき→9の倍数条件的に残りは6のみ→9648の1通り
9以外(1,2,3,6,7)から選ぶと候補は○248、○648
○248→3の倍数条件的に3,6は無理、7248も7で割れないので無理→1248の1通り
○648→3の倍数条件的に3のみ→3648の1通り

よって一桁目が8の場合は8通り

(5)合計すると
奇数が6通り、○○○2が18通り、○○○4が9通り、○○○6が14通り、○○○8が8通りで計55通りですかね。
脳筋の人力洗い出しで搾りだした答えなんでどっかしらでやらかしてる可能性はありますあります(自信)
○○○4より○○○6の方がパターン多かったのが意外だったのと○○○8の時に全然7でイケなくて気持ちよくなかった(小並)

もっどのことは履修してないゆとり野郎なんでよく分からないんですけど、例えば設問の条件から7を抜いて8種の数字を扱う問題だったら簡単に解けたりするんすかね？
185：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/25(火) 15:02:03 ID:v45bBqMg: 皆さまありがとうございます、出題者として冥利に尽きます
元々は拓也さんの評判の「くさい子。」から思いついたネタなのですがここまで複雑になるとは思いませんでした
ただ問題設定としては面白いものの解く面から見ると美しい問題とは言えませんね
7を抜くなど数字を減らしたり、>>177の偶数が一つの場合は有り得ないことの証明などに限って改善してゆけば入試問題として使えそうなくらいにまで洗練することができそう
身の周りにも数学は隠れてるってはっきりわかんだね
186：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/25(火) 16:49:37 ID:r93Lv7n6: 拓也さんの評判が身の回りにある…？妙だな
187：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/26(水) 17:14:21 ID:pCt1VhmA: >>184
7を抜くと>>177さんの偶数奇数分け方式がやりやすくなりますね
実質的に奇数が1、3、9だけになり、1なら割れることは確定だし3や9なら倍数条件が使えるので
188：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/26(水) 21:09:34 ID:r7HDSQo6: 引く枚数を九枚まで拡張して同じ条件で考えたとき
最大の5の倍数が9315になることを示せ、とかなら入試問題にできそう（適当）
189：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/26(水) 23:24:51 ID:tiF0ufkc: >>188
千の位に9があることがバレて瞬殺されそう
190：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/26(水) 23:26:44 ID:BNKxLum2: 変な漸化式とか考えてたのにいつの間にか東大文系大問1みたいな問題がまたできたので初投稿です

整数a,b,cがあるとき
x^3+ax^2+bx+c=0
の解が-10≦α<β<γ≦10となるとする
3次曲線y=x^3+ax^2+bx+cをf(x)とすると、3つのx軸との交点を左からA,B,Cとして
（ABを直径とする円の面積）+（BCを直径とする円の面積）
が最大になるようにa,b,cを定めよ
最小にできるようにできるのかは知りません
191：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/27(木) 00:27:35 ID:Wmh.y0rM: これって本当に解ありますかね……？
片方の円の半径を限りなく10に近付ければ面積は限界付近に行けるんですけど、
10になった途端方程式の解が2つだけになって答えにはならないんですよね
「最大値」は存在しないけど「上限（最小下界）」は存在してるみたいな状態じゃないですか？

ちなみに最小値は存在しますね
192：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/27(木) 00:51:46 ID:zg2X7yT6: a,b,cを整数に保ったまま10(か-10)に二重解をもつように近づけられるかどうかは要検討じゃないですかね？(解けるとは言ってない)
193：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/27(木) 00:55:55 ID:Wmh.y0rM: あっ、整数だということを見逃していました.....
ｾﾝｾﾝｼｬﾙ！
194：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/27(木) 01:18:41 ID:d1W4JLkc: ACの長さdは(0≦d≦20)をとるが、（0≦d<20）としたとき2/dが半径のとき面積が最大となるが、このdに対して2/dを半径とする円と10-2/dを半径とする円の面積が足されたときに明らかにより大きくなるので、AC=20
ABの長さをtとすると、BCの長さは20-tとなる（0≦t≦20）
それぞれの半径の長さはt/2,10-t/2
2/t=x（0≦x≦10）と置くと、円の面積の和は
x^2π+(10-x)^2π=S
2π(x^2-10x+50)
=2π((x-5)^2+25)
x=0,10のとき最大となるが、この2つの値では三次方程式の解が重解となるので不適
よって、(x^2-100)(x±9)が求める式
本当はAとBの接線が垂直になるようにして…ってやりたかったけどそれが活かす問題を思いついていませんでした
意図通りの解法に導くって難しいですね…
195：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/27(木) 12:29:04 ID:d1W4JLkc: nを自然数とする
数列A_nは
n^2A_n+2=Anを常に満たし、A_1=1/2,A_2=1であるという
このとき、A_nの一般項とA_nの総和Sを求めよ
196：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/27(木) 21:49:54 ID:d1W4JLkc: 検算しなおしたらAnの特性方程式解いてそこで初項出す時に0除算が発生したのだけどおや、どうしたのだろう（無能）
それでも数2Bの範囲のはずです
197：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/27(木) 22:39:19 ID:BctUA/oU: これでも特性方程式使えるんですね
考え方変えよう
198：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/27(木) 22:46:11 ID:d1W4JLkc: まあ
An+2=An
や
4An+2=An
でも同じことするよね…ってのがヒントですね
199：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 00:06:57 ID:2BNluFWI: 最初は別の派生問題も考えていたのでA_1が1/2になっていましたが
計算があまりに煩雑になりそうなのでA_1=1,A_2=2とします（問題文や>>198でやってる通り数列をAnで表記しても問題ないです）
ゼロ除算が出てきそうなところはまだ変わってないので検算しなおします
200：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 08:32:41 ID:2BNluFWI: フィボナッチ数列が
An+2=An+An+1
でかつ
x^2-x-1=0の黄金比だみたいな話ではあります
201：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 17:25:12 ID:2BNluFWI: もうそろそろ解法を出したほうがいい感じですかね…？
202：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 17:29:32 ID:kmBnAQTM: できればあと30分待ってくだせぇ
背水の陣だ
203：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 17:40:01 ID:2BNluFWI: とりあえず休みの兄貴たちが出てくる土曜夜まで待ちます
0除算が出てくる問題は自分はなんとか克服しました
204：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 18:39:10 ID:kmBnAQTM: https://imgur.com/a/2TTtUC9
ここまでやってみたけど方向性あってますかね
もしくは偶奇での場合分け要りそうなんですけど自信無いゾ
205：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 19:00:58 ID:2BNluFWI: その通りです。
個人的にはx^2-1=0を素直に解いて
n(nAn+2±An+1)=nAn+1±An
のほうが扱いやすく、かつこの特性方程式を使わなくても思いつきやすいものだと思います
206：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 19:06:39 ID:2BNluFWI: 奇偶の使い分けが必要なのは総和を求めるときだけですね
もちろん奇遇で場合分けしても「Anの一般項」にはなりうるはずですが（どっかでそういう回答を見た気がする）
207：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 21:50:43 ID:LX/QidUo: 念のためなんですが
Bn=nA_(n+1)+An
と置いて
nBn+1=Bn
の漸化式を解くわけではありませんよね？
（そもそもnBn+1=Bnの形にはできないので）
208：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 22:13:06 ID:2BNluFWI: え、できないんですか（池沼）
n=Bn+1/Bn
という式に意味はあるように見えるんですが
209：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 22:25:34 ID:LX/QidUo: Bn+1=(n+1)A_(n+2)+A_(n+1)
になってしまうのでできませんね...
210：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 22:37:34 ID:kmBnAQTM: おそらくこの漸化式自体の一般項はこれですね
https://imgur.com/a/6GfUoyD
初項と第二項を調整すれば纏められるのかも知れないですが
今のままだと偶数項と奇数項で関わりがないように感じます
211：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 22:39:36 ID:kmBnAQTM: (あと不安になってWolfram Alphaでカンニングしたら一般項出てこなかったので聞いた所存であります…)
212：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 22:51:59 ID:2BNluFWI: n(nA_n+2+A_n+1)=nA_n+1+A_n
と
n(nA_n+2-A_n+1)=-(nA_n+1-An)
の漸化式が成り立つのならば両漸化式を解いたあと両者を足して…のつもりでした
ただ>>209をみてもいまだそれがなりたたないことを理解できてないです
213：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 22:55:22 ID:kmBnAQTM: >>212もしかしてこんな感じの答えになりませんでしたか？
https://imgur.com/a/PtafJSM
これは自分が解いたあと間違いに気づいたものなのですが…
214：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 22:58:05 ID:LX/QidUo: >>212
左辺ですよ
左辺の括弧の中身第一項が(n+1)An+2であって欲しいところがnAn+2になってるんです
これのせいでBn+1に置き換えられないんですよ
（チョコボール向井感）
215：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 23:04:51 ID:2BNluFWI: あ、そっかあ…
フィボナッチ数列のやつみたいな特性方程式が
x^2+ax+b=0
になるやつのバリエーションのつもりで作ったんですが致命的な勘違いをしてました
じゃ、流しますね…
216：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 23:09:26 ID:azU7aodM: nが奇数ならA(n)=1/(n!!)^2、偶数ならA(n)=2/(n!!)^2で詰んでました
二重階乗の逆数和って出せるのかと思って調べたら不完全ガンマ関数とか出てきてこれもうわかんねえな…
217：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 23:39:51 ID:2BNluFWI: もしかして
n(n+1)A_n+2=An
なら解ける問題だったってことですかね…？
218：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/29(土) 10:37:57 ID:LzCaf9ew: >>217
試してみましたが少なくとも特性方程式は使えませんでした...
三項間漸化式の場合、特性方程式で用いる係数はnに依存できないので（※）、この方針はちょっと厳しいかもしれません

※特性方程式の解をα、βとして、漸化式は次のように変形できる
A_n+2 - αA_n+1 = β(A_n+1 - αA_n)
変形上、右辺と左辺のαは完全に同一なものであるべき。（①）
ここでもしαがnに依存してα_nと書けるとし、B_n=A_n+1 - α_nA_n という置き換えを使いたいとすると、漸化式は
A_n+2 - α_n+1A_n+1 = β(A_n+1 - α_nA_n)
となって欲しいが、①からα_n+1 = α_nであり、これが任意のnで成立するので結局全てのα_nは等しい⇒nに依存しないということになる
219：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/29(土) 12:50:00 ID:LzCaf9ew: 面白そうな問題ができまし（満悦）
解いてくださいまし

【問題】『y=x^x^x^…が収束するには？』
y=x^x^x^…という関数について考えたい。（正確に書けばy=x^(x^(x^…))。）
より明確な定義として次のような数列{y_n}の極限としてyを与える。
　{y_n}：y_n+1=x^y_n, y1=x
　y≡lim[n→∞]y_n
このとき定義より、x>0,y>0は明らかである。
その一方でx=10としたとき、y=10^10^…は明らかに発散する。
よってyが発散しないxの範囲を特定するのが、この設問の目的である。

（問１）xがyを収束させると仮定して、yとxの関係をグラフに表し、xの取り得る範囲を「推定」しなさい。（この設問に寄り、もしxがyを収束させるなら、この「推定範囲」に限られることが分かる）

（問２）【問】(i),(ii)を解け。ただし次の【事実】(a)～(c)を用いても良い。
【事実】（以下で登場する全ての数列は暗に無限数列であると仮定している）
(a)　数列{a_n}が存在して、n→∞でαに収束するとする。ある適当な自然数の有限個の組{m_i}（1≦i≦N）が存在し、任意のnに対してある関数fが、f(a_n,a_(n+m_1),…,a_(n+m_N))=0を満たす時、f(α,α,…,α)=0が成立する。
　[例]：αに収束する数列{a_n}が存在し、任意のnに対し、a_n+2a_(n+1)=0を満たすなら、α+2α=0を満たす。（直ちにα=0がわかる。）

(b)　ある単調増加（減少）列{a_n}が存在した時、任意のnに対してある値Aが存在し、a_n<A （a_n＞A）を満たすならば、{a_n}はある値αに収束し、α≦A（α≧A）を満たす。
　[例]：数列{a_n}はa_n=1/2^nで表せられるとする。a_(n+1)-a_n=-1/2^(n+1)<0より、これは単調減少列であり、また任意のnに対し、a_n>0である。よって{a_n}はある値αに収束し、α≧0とわかる。（事実、α=0である）

(c)　ある数列{a_n}が存在して、【成分の順序を変えず】に、有限個の数列に分解した時、各々の数列が同じ値αに収束すれば、元の{a_n}もαに収束する。
[例]：{a_n}={1/2, 1/3, 1/5, 1/2^2, 1/3^2, 1/5^2,…}とする。このとき、この数列を次の三つの数列に分解する。
　{A_n}:A_n=1/2^n, {B_n}:B_n=1/3^n, {C_n}：C_n=1/5^n
このとき、いずれも0に収束するので元の数列{a_n}は0に収束する。

【問】
(i) x>1の時、yが収束可能かどうか、あるいはいつ可能か示しなさい。
(ii) x≦1の時、yが収束可能かどうか、あるいはいつ可能か示しなさい。

（問３）y=x^x^…が収束するxの範囲を答えなさい。
220：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/29(土) 13:02:54 ID:LzCaf9ew: >>219
問2に関して、もし余裕があればxに対してyは幾つになるかも考えていただけると面白いかと
221：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/29(土) 18:03:59 ID:LzCaf9ew: >>219
すみません問2(ii)なんですが、僕の解答にミスがあって解決中です。(i)及び問1は大丈夫です。申し訳🍆
222：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/29(土) 18:46:35 ID:LzCaf9ew: >>221
解決できました。
この設問の状態だと厳しいと思うので進捗に応じてヒントを出していきたいと思います。
また要求があればその時も出します。

誰か既に取り組んでいるのかもわかりませんが、とりあえずそこそこ時間が経ったので問1に関して最初のヒントを出します。
【ヒント1】『y=x^x^...をx=...の形に変形する』
223：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/29(土) 21:07:24 ID:y2IW8WmE: 114514年ぶりに対数微分法やって間違えちゃった…
224：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/29(土) 21:19:39 ID:LzCaf9ew: >>223
（正解に近づいてる感じがして）良いですね！

（ひょっとして全体的な設問の難易度を下げたりヒントを直接的にした方が良い可能性が）濃いすか？
225：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/29(土) 21:23:42 ID:VkWW5lBU: なんとなくこういうのはeとそこからの四則演算冪乗対数関連の数字が答えになる気がするんだ(自分で導出できるとは言ってない)
226：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/29(土) 21:38:16 ID:V4GGA2BY: これは…ランベルトのW関数じゃな？
227：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/29(土) 21:49:50 ID:LzCaf9ew: >>226
えっ...何それは...（困惑）

とりあえず特殊関数は用いなくても解ける形にはなっているので、その辺りはご安心下さい。
グラフも困ったらGoogle先生に書いてもらって方針付ければいいから多少はね？

そろそろヒント上げます。
【ヒント】y=x^x^...=x^(x^x^...)=x^yと変形でき、即ちy=x^yの形になる。これをx=の形に変形して、Google先生にグラフを書いてもらうと...？
228：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/29(土) 22:27:16 ID:LzCaf9ew: 問題を改訂して誘導を増やしまし
どうにか取り組める人が増えてくれると嬉しいでし

【問題（>>219改訂版）】『y=x^x^x^…が収束するには？』
y=x^x^x^…という関数について考えたい。（正確に書けばy=x^(x^(x^…))。）
より明確な定義として次のような数列{y_n}の極限としてyを与える。
　{y_n}：y_n+1=x^y_n, y1=x
　y≡lim[n→∞]y_n
このとき定義より、x>0,y>0は明らかである。
その一方でx=10としたとき、y=10^10^…は明らかに発散する。
よってyが発散しないxの範囲を特定するのが、この設問の目的である。

（問１）xがyを収束させると仮定して、x=…の形に変形しなさい。またyとxの関係をグラフに表し、xの取り得る範囲を「推定」しなさい。
（この設問に寄り、もしxがyを収束させるなら、この「推定範囲」に限られることが分かる。しかし、xがこの「推定範囲」内ならば必ず収束するとは限らない）

（問２）始めに【補足問題】を解き、その結果を参考にして、【問】に答えよ。
【補足問題】 y>0の時、y^(1/y)≦yを示せ。また等号成立条件はいつか。※微分を用いることなく証明可能

【問】　(i)～(iv)を解け。ただし後述する【事実】を適宜用いて良い。各設問の末尾のアルファベットは、参考になる【事実】を表している。
(i) x>1の時、yが収束可能かどうか、或いはいつ収束可能か示しなさい。（a）
(ii) (i)の時、その収束先を答えなさい。ただし、数式で簡明に表すことは難しいので、言葉で説明する事を推奨する。（b）
(iii) 0<x≦1の時、{y_(2n-1)}、{y_2n}（前者が奇数番号のみを並べたy_nの数列、後者が偶数番号のそれ）が各々収束することを示しなさい。(a)
(iv) {y_(2n-1)}、{y_2n}の収束先を各々A,Bとして、A,Bに関する等式を二つ用意し、それらを満たす解を一つ見つけよ。またそれがただ一つの解である事を示せ。(b)
(v) {y_(2n-1)}、{y_2n}の収束先が同一であれば、元の{y_n}はそこに収束するし、同じでないなら{y_n}は収束しない。(iv)の結果から、0<x≦1での{y_n}の収束性を判断し、最終的にyを収束させることのできるxの範囲を答えなさい。また可能なら、どこに収束するか(ii)と同様に答えなさい。

【事実】（以下で登場する全ての数列は暗に無限数列であると仮定している）
(a)　ある単調増加（減少）列{a_n}が存在した時、任意のnに対してある値Aが存在し、a_n<A （a_n＞A）を満たすならば、{a_n}はある値αに収束し、α≦A（α≧A）を満たす。
　[例]：数列{a_n}はa_n=1/2^nで表せられるとする。a_(n+1)-a_n=-1/2^(n+1)<0より、これは単調減少列であり、また任意のnに対し、a_n>0である。よって{a_n}はある値αに収束し、α≧0とわかる。（事実、α=0である）

(b)　数列{a_n}が存在して、n→∞でαに収束するとする。ある適当な自然数mが存在し、任意のnに対して、ある関数fがf(a_n,a_(n+m))=0を満たす時、f(α,α)=0が成立する。
　[例]：αに収束する数列{a_n}が存在し、任意のnに対し、a_n+2a_(n+1)=0を満たすなら、α+2α=0を満たす。（直ちにα=0がわかる。）