レイン常駐スレ

120：れいん：2020/04/24(金) 04:20:48 ID:QR0EOYPk0: ［解答６］

まず、二回微分可能な関数で第二次導関数が連続かつ常に負な関数を考える。このとき、
a1<a2<a3を満たす関数に対して{f(a2)-f(a1)}/(a2-a1)>{f(a3)-f(a2)}/(a2-a1)が成り立つ
何故なら、f(x)は連続であるから、a1<c1<a2なるc1に対して平均値の定理より
{f(a2)-f(a1)}/(a2-a1)=f'(c1)となるようなc1が存在する。
同様に、a2<c2<a3なるc2でこのような条件を満たすようなc2もまた存在する。
ここで、f''(x)<0であるからf'(c1)>f'(c2)であり、これはすなわち{f(a2)-f(a1)}/(a2-a1)>{f(a3)-f(a2)}/(a2-a1)

このような条件のとき、0<=a<=1であるaとy1,y2(y1<y2とする）に対して
f{ay1+(1-a)y2}>=af(y1)+(1-a)f(y2)が成り立つ。
（上述の方程式においてa1=y1,a2=ay1+(1-a)y2、a3=y2とすれば導出される）

また、これらを用いると、d1+d2+d3=1かつdn>=0を満たすd1,d2,d3に対しても
f(d1y1+d2y2+d3y3)>=d1f(y1)+d2f(y2)+d3f(y3)となる

ここで、f(x)=logx(x>0)とすると、この関数は所与の条件を満たす。
ここでd1=d2=d3=1/3とすると
log(y1+y2+y3)/3>=1/3 ・ log(y1y2y3)であるから、題意の不等式は示される

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